Kolmogorov 概率公理

样本空间列出可能结果，事件族规定允许提出哪些集合问题，概率测度则给每个合法问题分配质量。三者缺一不可。“随机选一条弦”若不说明怎样参数化弦并怎样分配测度，会产生不同答案；Bertrand 悖论暴露的正是概率模型尚未被完整指定，计算技巧无法消除这种歧义。

可数可加性把有限实验与无限过程接在一起。有限可加只能保证有限次拆分正确；可数可加还保证事件沿递增或递减序列逼近时，概率能够随集合极限一起收敛。大数律、Borel–Cantelli 引理和停止时间等对象之所以仍落在概率语言内，都依赖这一点。

概率为零并不等于不可能。在连续模型中，每个单点都可有概率零，而所有单点合起来的整个区间却有概率一。公理只允许对可数族逐项相加；把不可数并误当作普通级数，正是“每个点概率为零，所以区间概率也为零”这一错误的来源。

公平骰子的概率空间可取

这里互不相交的非空事件至多六个，所以可数可加退化成有限求和。模型的简单来自空间有限，不意味着第三条公理在一般理论中可以删去。

在无限抛硬币的模型里，令 $A_n$ 表示“前 $n$ 次全为反面”。则 $A_n\downarrow A$，其中 $A$ 表示“永远不出现正面”。由有限次独立试验可算得 $\mathbb{P}(A_n)=2^{-n}$；概率从上连续于是给出

事件 $A$ 仍含有全反面这一条无限序列，却有概率零。这个例子把“存在”“可测”和“具有正概率”清楚地区分开来。

$\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}$ 上不存在所有整数等概率的概率测度。若每个单点质量都是 $c$，可数可加给出 $1=\sum _{n\ge 1}c$：$c=0$ 时右边为零，$c>0$ 时发散。不过可数无限空间完全可以承载非均匀分布，例如

因为这些点质量的级数恰好为 $1$。真正冲突的是“无限多个点等质量”；样本空间本身完全可以是可数无限的。

只满足有限可加的集合函数可能与极限不相容；对不可测集合，$\mathbb{P}(A)$ 则根本没有定义。两种失败不能混为一谈：前者缺少概率测度的连续结构，后者超出了事件语言的定义域。

若 $A_n\uparrow A$，令 $B_1=A_1$、$B_n=A_n\setminus A_{n-1}$。这些 $B_n$ 两两不交，且 $A_n=\underset{k\le n}{⨆}{B}_k$、$A=\underset{k\ge 1}{⨆}{B}_k$，所以

这证明从下连续性。若 $A_n\downarrow A$，对补集应用同一结论并使用总质量有限，得到 $\mathbb{P}(A_n)\downarrow \mathbb{P}(A)$。事件极限与数值极限的桥梁由此直接从公理建成。

对任意事件列，先把重叠部分依次剔除，再用单调性，可得

即并集界公理库并集界Union bound · Boole 不等式多个坏事件中至少一个发生的概率，不超过各事件概率之和。。它不要求独立性，也不要求事件互斥，是把多个失败事件合成整体高概率保证的最基础工具。

在这个框架上，条件概率公理库条件概率Conditional probability在已知正概率事件发生后，把交集概率重新规范到该事件内部。重新规范正概率事件内的质量，随机变量公理库随机变量Random variable · Random element从概率空间到可测取值空间的可测映射；实值情形承载数值概率运算。把样本映射到可观察值，期望公理库期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。则对数值随机变量积分。离散、连续、混合与奇异分布都只是概率测度的不同形态，不需要各自建立一套公理。