形式陈述

概率空间是三元组 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$$(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$，其中 $\Omega$$\mathrm{\Omega }$ 为样本空间，$\mathcal F$$\mathcal{F}$ 为其上的 $\sigma$$\sigma$-代数，$\mathbb P:\mathcal F\to[0,1]$$\mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0,1]$ 满足

$$ \mathbb P(\Omega)=1,\qquad \mathbb P\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb P(A_n) $$$$\mathbb{P}(\mathrm{\Omega })=1,\mathbb{P}\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(A_n)$$

对任意两两不交的 $A_n\in\mathcal F$$A_n\in \mathcal{F}$ 成立。非负性由陪域给出。

直觉

概率不是给样本空间的每个任意子集强行赋数，而是在封闭的可测事件族上给出归一化、可数可加的测度。

例子与边界

有限均匀空间中可取 $\mathcal F=\mathcal P(\Omega)$$\mathcal{F}=\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$ 且 $\mathbb P(A)=|A|/|\Omega|$$\mathbb{P}(A)=|A|/|\mathrm{\Omega }|$。由公理可推出 $\mathbb P(\varnothing)=0$$\mathbb{P}(\varnothing )=0$、补事件公式和有限可加性。对不可测集合，$\mathbb P(A)$$\mathbb{P}(A)$ 本身未定义。

推论与应用

这些公理统一离散与连续概率，并支撑条件概率、随机变量、期望和极限定理。$\sigma$$\sigma$-代数是理解该形式陈述所必需的直接前置。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995, Chs. 1–5。
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019, Chs. 1–8。