Kolmogorov 概率公理

概率模型要同时说清三件事：结果有哪些，可以询问哪些事件，以及质量怎样分配。只说“随机选择”没有完成最后一步；只写一串权重，也没有说明这些权重属于什么事件。

例如在单位圆盘中选点，可以令半径 $R$ 均匀，也可以让平面面积均匀。前者有 $\mathbb{P}(R\le 1/2)=1/2$，后者因小圆面积为大圆的四分之一，得到 $1/4$。

若从独立均匀变量 $U,V\in [0,1]$ 实际生成点，令角度 $\mathrm{\Theta }=2\pi V$；半径取 $R=U$ 就得到前一种模型，取 $R=\sqrt{U}$ 才得到面积均匀模型，因为 $\text{Pr}(R\le r)=r^2$。后者给外侧圆环更多概率，恰好补偿圆环面积随半径增加的变化。两者都符合公理，区别是模型不同。“随机选一条弦”之类的 Bertrand 问题也应先明确抽样机制，再讨论概率值。

可数可加性不只是把有限加法写得更长。它约束事件逼近时概率怎样变化，从而让“永远”“最终”“无穷多次”等无限过程中的问题仍可计算。有限可加只处理有限拆分，单凭它不能推出这些极限规律。

有限模型：等可能结果不等于等可能事件 ​

公平骰子可以建模为

六个单点等概率，但 $\{2,4,6\}$ 的概率为 $1/2$，$\{6\}$ 的概率为 $1/6$。事件包含不同数量的基本结果，不会因为都是“一个事件”便拥有相同概率。

事件族也可以更粗。例如只观察奇偶性时，可用

在这套信息中能询问是否为偶数，却不能单独询问是否掷出 $6$。较粗事件族表示较少可分辨的信息，并不声称骰子失去了具体点数。

可数无限模型：不存在整数上的等概率分配 ​

在 ${\mathbb{N}}_{>0}$ 上，若每个单点都分配相同质量 $c$，可数可加会要求

$c=0$ 时右边为 $0$，$c>0$ 时发散，因此不存在这种均匀概率。可数无限本身没有问题：取 $\mathbb{P}(\{n\})=2^{-n}$ 就得到合法分布，任意事件的概率是对应点质量的和。

零概率与空事件不同 ​

在 $[0,1]$ 的均匀模型中，每个指定点都有概率 $0$，整个区间却有概率 $1$。区间是不可数多个单点的并，而公理中的右侧是可数级数，不能对不可数并直接逐点相加。

在无限次独立公平抛硬币模型中，令 $A_n$ 表示前 $n$ 次全反面。则 $\mathbb{P}(A_n)=2^{-n}$，而 $A_n$ 递减到“永远全反面”的事件 $A$。由从上连续性，

$A$ 含有全反面这条序列，所以并不为空。概率为 $1$ 的性质称为几乎必然成立；它允许一个非空的零概率例外集。

从不交拆分推出有限计算规则 ​

用 $\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }\bigsqcup \varnothing$ 得到 $\mathbb{P}(\varnothing )=0$。若 $A\subseteq B$，拆成 $B=A\bigsqcup (B\setminus A)$，便有单调性及差集公式

取 $B=\mathrm{\Omega }$ 得补集公式。再把 $A\cup B$ 拆成 $A\setminus B$、$B\setminus A$、$A\cap B$ 三块，得到

这些公式来自同一个拆分机制；有重叠时直接相加，会重复计算交集的质量。

可数可加怎样传递到极限 ​

若 $A_n\uparrow A$，令 $B_1=A_1$、$B_n=A_n\setminus A_{n-1}$。这些新增加的部分两两不交，于是

这证明从下连续性。对递减事件列取补集，再用总质量为 $1$，就得到 $A_n\downarrow A\Rightarrow \mathbb{P}(A_n)\downarrow \mathbb{P}(A)$。一般测度的从上连续性需要某一项测度有限；在概率空间中该条件自动满足。

对任意可数事件族，把每一项中已被之前事件覆盖的部分剔除，再用单调性，可得并集界理路并集界Union bound · Boole 不等式多个坏事件中至少一个发生的概率，不超过各事件概率之和。

它不需要独立性。控制一串失败概率，便能控制“至少一次失败”，这是许多高概率保证的起点。

无限期要求也可以逐层写成事件。例如 $A_n$ 表示第 $n$ 次失败，“从第 $N$ 次开始再无失败”是 $\bigcap _{n\ge N}{A}_n^{\mathsf{c}}$，“最终不再失败”则是 $\bigcup _{N\ge 1}\bigcap _{n\ge N}{A}_n^{\mathsf{c}}$。$\sigma$-代数的可数封闭性保证它们确实属于模型，而可数可加性及连续性才允许继续计算其概率。这区分了事件合法性与概率赋值两个职责。

公理并不自动宣称试验独立、等可能或服从某种分布；这些是额外模型假设。随机变量理路随机变量Random variable · Random element从概率空间到可测取值空间的可测映射；实值情形承载数值概率运算。把结果映到观察值，条件概率理路条件概率Conditional probability在已知正概率事件发生后，把交集概率重新规范到该事件内部。在正概率事件内重新规范质量，期望理路期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。对数值变量积分。长期频率接近概率则是大数律理路强大数定律Law of large numbers · Strong law of large numbers · SLLN独立同分布且可积时，样本均值沿几乎每条无限样本路径收敛到共同期望。在相应抽样条件下的结论，而不是概率公理的另一种写法。