倾向分数 | Codeboy's Blog

形式陈述

令 $A=1$ 表示接受处理， $A=0$ 表示对照， $X$ 收集处理发生前测得的协变量。二元处理的倾向分数由给定 $X$ 的条件分布定义

e(X)=P(A=1\mid X).

对多值处理使用向量 $e_a(X)=P(A=a\mid X)$ 。可测函数 $b(X)$ 称为 balancing score，若有条件独立 $A\perp X\mid b(X)$ 。Rosenbaum–Rubin 定理给出：

$e(X)$ 是 balancing score，即 $A\perp X\mid e(X)$ ；
若 $b(X)$ 是 balancing score，则 $e(X)$ 是 $b(X)$ 的函数，故倾向分数在该意义下是最粗平衡分数；
若强条件交换性 $(Y(0),Y(1))\perp A\mid X$ 成立，且positivity 给出 $0<e(X)<1$ 几乎处处，则 $(Y(0),Y(1))\perp A\mid e(X)$ 。

这里 $Y(a)$ 是同一单位接受处理 $a$ 时的潜在结果， $\perp$ 表示条件独立。第一项不需要结局模型。对任意协变量集合 $C$ ，迭代条件期望给出

P(A=1,X\in C\mid e)=E[e(X)\mathbf1_{\{X\in C\}}\mid e] =eP(X\in C\mid e),

恰好是条件独立所需的分解。第三项再把这种平衡传递给潜在结果；若要用实际记录的 $Y$ 识别因果均值，还需一致性 $Y=Y(A)$ 。真实 $e$ 由总体观测分布确定，估计的 $\widehat e$ 则带有有限样本误差。匹配、分层、加权和回归调整是利用它的不同估计方法。

直觉

若两名单位的具体协变量不同，但依据这些协变量接受处理的概率相同，那么在这个概率层里，处理分配不会继续偏向其中某一种协变量组合。倾向分数把高维分配机制压成一个标量，同时保留关于“谁更可能被处理”的信息。

这种压缩只平衡已纳入 $X$ 的变量。漏掉共同原因后，模型可以把剩余变量平衡得极其漂亮，潜在结果仍不交换。倾向分数解决维度，不创造随机化。

所谓“最粗”不是只保留一个处理风险排名，而是任何有效的 balancing score 都必须足以确定 $e(X)$ ：同一分数层若混入两个不同处理概率，处理组就会系统偏向概率较高的那类， $X$ 的组成无法在两臂一致。因此一维压缩能成立，靠的是保留完整分配概率，而不是某个拟合模型碰巧只输出一个数字。

例子与边界

设总体有四种等量基线类型，每种 100 人，真实分配概率为

类型	一个关键特征	$e(X)$	期望处理人数	期望对照人数
I	$X=(0,0)$	0.2	20	80
II	$X=(0,1)$	0.2	20	80
III	$X=(1,0)$	0.8	80	20
IV	$X=(1,1)$	0.8	80	20

在 $e=0.2$ 层，处理者来自 I、II 的期望比例为 $20:20=1:1$ ，对照者为 $80:80=1:1$ ； $e=0.8$ 层同理为 III、IV 各半。因此即使完整 $X$ 有四类，给定 $e(X)$ 后处理不再改变类型组成。若各类型潜在结果分布不同，只要强可忽略性给定完整 $X$ 成立，定理仍允许在两个分数层中比较。

若错误模型把 I、III 合并为同一分数层，该层处理者的期望构成为 $20:80$ ，对照者却为 $80:20$ ，平衡立即失败。反之，仅把真实同分数类型进一步分开，不一定破坏总体平衡，却可能让匹配更稀疏。因此问题在于估计分数是否仍保留分配概率，而非它是否恰好等于某个数值。

另一方面，处理组与对照组的样本均值偶然平衡也不证明 $\widehat e$ 正确，更不证明未测混杂不存在。诊断应查看加权或匹配后协变量分布，而非用倾向模型的分类准确率；极高准确率常意味着 overlap 很差。

当 I 类从不处理时 $e=0$ ，平衡定理的概率陈述仍可形式讨论，但用该层识别两个处理结果失败。删除无匹配单位会把目标改成共同支持总体；这可能合理，却必须重新报告 estimand，而不能继续称全体 ATE。

把结局 $Y$ 或处理后的变量放入倾向模型也有边界。 $Y$ 在分配时不可用，会泄漏结果；处理后变量可能是中介或碰撞点。变量选择应依据处理前信息和因果结构，随后才以预测与平衡性能调节函数形式。

推论与应用

由平衡性，给定真实 $e(X)$ 后，任意可积函数 $h(X)$ 在处理与对照中的条件分布相同。于是可以按分数匹配或分层；在每层有足够 overlap 且交换性成立时，层内结果差识别相应因果对比，再按目标总体权重组合。

逆概率权重来自同一条件概率： $A/e(X)+(1-A)/(1-e(X))$ 把实际分配的稀有单位放大，使加权伪总体中的 $A$ 与 $X$ 解耦。估计 $e$ 时应处理极端权重与不确定性；把分数当普通固定协变量塞进任意回归，不自动等于标准化或正确的因果调整。

参考资料

Brady Neal, Introduction to Causal Inference from a Machine Learning Perspective, 在线教材，2020，§7.5 “Propensity Scores”。
Paul R. Rosenbaum and Donald B. Rubin, “The Central Role of the Propensity Score in Observational Studies for Causal Effects,” Biometrika 70(1), 1983, pp. 41–55，Theorems 1–3。
Paul R. Rosenbaum and Donald B. Rubin, “Reducing Bias in Observational Studies Using Subclassification on the Propensity Score,” Journal of the American Statistical Association 79(387), 1984, pp. 516–524。
Guido W. Imbens and Donald B. Rubin, Causal Inference for Statistics, Social, and Biomedical Sciences, Cambridge University Press, 2015，Ch. 12–13。

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