倾向分数

若两名单位的具体协变量不同，但依据这些协变量接受处理的概率相同，那么在这个概率层里，处理分配不会继续偏向其中某一种协变量组合。倾向分数把高维分配机制压成一个标量，同时保留关于“谁更可能被处理”的信息。

这种压缩只平衡已纳入 $X$ 的变量。漏掉共同原因后，模型可以把剩余变量平衡得极其漂亮，潜在结果仍不交换。倾向分数解决维度，不创造随机化。

所谓“最粗”不是只保留一个处理风险排名，而是任何有效的 balancing score 都必须足以确定 $e(X)$：同一分数层若混入两个不同处理概率，处理组就会系统偏向概率较高的那类，$X$ 的组成无法在两臂一致。因此一维压缩能成立，靠的是保留完整分配概率，而不是某个拟合模型碰巧只输出一个数字。

设总体有四种等量基线类型，每种 100 人，真实分配概率为

在 $e=0.2$ 层，处理者来自 I、II 的期望比例为 $20:20=1:1$，对照者为 $80:80=1:1$；$e=0.8$ 层同理为 III、IV 各半。因此即使完整 $X$ 有四类，给定 $e(X)$ 后处理不再改变类型组成。若各类型潜在结果分布不同，只要强可忽略性给定完整 $X$ 成立，定理仍允许在两个分数层中比较。

若错误模型把 I、II 的分数分别估为 0.1、0.3，它不再是同一个真实分数层；有限样本 balance 可能变差。反过来，处理组与对照组的样本均值偶然平衡也不证明 $\hat{e}$ 正确，更不证明未测混杂不存在。诊断应查看加权或匹配后协变量分布，而非用倾向模型的分类准确率；极高准确率常意味着 overlap 很差。

当 I 类从不处理时 $e=0$，平衡定理的概率陈述仍可形式讨论，但用该层识别两个处理结果失败。删除无匹配单位会把目标改成共同支持总体；这可能合理，却必须重新报告 estimand，而不能继续称全体 ATE。

把结局 $Y$ 或处理后的变量放入倾向模型也有边界。$Y$ 在分配时不可用，会泄漏结果；处理后变量可能是中介或碰撞点。变量选择应依据处理前信息和因果结构，随后才以预测与平衡性能调节函数形式。

由平衡性，给定真实 $e(X)$ 后，任意可积函数 $h(X)$ 在处理与对照中的条件分布相同。于是可以按分数匹配或分层；在每层有足够 overlap 且交换性成立时，层内结果差识别相应因果对比，再按目标总体权重组合。

逆概率权重来自同一条件概率：$A/e(X)+(1-A)/(1-e(X))$ 把实际分配的稀有单位放大，使加权伪总体中的 $A$ 与 $X$ 解耦。估计 $e$ 时应处理极端权重与不确定性；把分数当普通固定协变量塞进任意回归，不自动等于标准化或正确的因果调整。