Positivity 假设 | Codeboy's Blog

形式陈述

在潜在结果框架中，设观测总体的基线协变量分布为 $P_X$ ，目标总体分布为 $P_X^*$ 。先要求 $P_X^*\ll P_X$ ，再取二元处理条件概率的一个版本 $e(x)=P(A=1\mid X=x)$ 。ATE 的条件 positivity 要求

0<e(x)<1 \quad\text{对 }P_X^*\text{-几乎处处的 }x.

更一般地，对每个目标干预值 $a\in\mathcal A$ ，

P(A=a\mid X=x)>0 \quad\text{对 }P_X^*\text{-几乎处处的 }x,

其中这个点概率写法适用于离散处理，量词遍历目标方案会赋正概率的处理值。连续处理必须区分两种目标。若干预按条件分布 $G(da\mid x)$ 随机分配剂量，换测度所需条件是 $G(\cdot\mid x)\ll P_{A\mid X=x}$ ；若干预把所有人固定到某个精确剂量 $a$ ，点质量 $\delta_a$ 并不对连续观测分布绝对连续，不能直接套用离散逆概率权重。通常需在 $a$ 附近有观测密度，并加上剂量反应的连续性等条件，把几乎处处定义的条件均值延拓到这个指定点。

纵向方案 $g$ 需在每个仍可能到达的历史 $h_t$ 上满足 $g_t(a\mid h_t)>0\Rightarrow p(A_t=a\mid H_t=h_t)>0$ ；只检查基线边缘比例不够。

Positivity 的量词取决于 estimand。若目标是已处理者平均效应，只需在已处理者支持上存在合适对照；若把目标限制为 overlap population，支持要求也随之改变。Identification 使用的是真实条件概率，estimation 观察到的极端估计概率只是有限样本诊断，二者需分开。

直觉

调整要在“其他条件相同”时比较处理。某类人在现实机制下从不接受对照，就没有数据告诉我们这类人的对照结果。回归可以画出一个数，但该数来自函数形状假设，不来自同层比较。

严格大于零是一条总体支持声明；接近零则带来统计信息稀薄。更强的统一重叠要求存在固定 $\epsilon>0$ ，使 $\epsilon\le e(X)\le1-\epsilon$ ；它会把二元逆概率权重限制在 $1/\epsilon$ 内。普通 positivity 没有提供这样的上界，因此即使结局有界，加权估计的二阶矩也仍需另查。

严格正概率与统计稳定性要分开：前者使非参数识别式没有逻辑空洞，后者决定估计方差和对模型误差的放大程度。把 $0.001$ 与 0 都称为“违反 positivity”会混淆结构不可识别与实践上不稳定。

例子与边界

设 $X\in\{0,1\}$ 各占目标总体一半，临床规则规定 $A=X$ ：低风险者全部对照，高风险者全部治疗。观测表只有

$X$	$P(X)$	$P(A=1\mid X)$	可观察的结果均值
0	0.5	0	$E\{Y(0)\mid X=0\}$
1	0.5	1	$E\{Y(1)\mid X=1\}$

即使一致性与给定 $X$ 的交换性被假定， $E\{Y(1)\mid X=0\}$ 和 $E\{Y(0)\mid X=1\}$ 仍没有观测对应项。可以构造两个完整数据模型：二者在已观察两格完全相同，却把上述两格反事实均值分别设为 $(0,1)$ 与 $(1,0)$ ，所得 ATE 相差 1。因此观测分布不识别目标；这不是样本量问题。

若规则改成 $e(0)=0.01,e(1)=0.99$ ，形式 positivity 恢复。对处理均值的权重 $A/e(X)$ 在低风险已处理者上为 100，对对照均值的权重 $(1-A)/(1-e(X))$ 在高风险对照者上也为 100。若一个低风险层内恰有 100 名独立单位，治疗数服从 $\operatorname{Binomial}(100,0.01)$ ，完全没有已治疗者的概率为 $0.99^{100}\approx0.366$ 。所以总体支持已成立，有限样本仍有约三分之一机会缺少这个比较格；这与临床规则强制零概率的结构空缺不同。少数单位一旦出现又会因权重 100 支配估计，有效样本量急剧下降。截断权重能减小方差，却一般把 estimand 或估计方程改掉，必须报告阈值与偏差敏感性。

连续协变量下“每个精确 $x$ 没有两种处理”不是自动违规，因为条件分布通过邻域估计；真正问题是处理组与对照组的支持区域不重叠。例如处理组年龄只在 70–90 岁，对照组只在 20–50 岁，估计 80 岁的对照结局依赖外推。画倾向分数或关键协变量的分布比仅报告最小概率更能定位空洞。

有些零概率由科学规则造成：孕妇永不接受有致畸风险的药物。此时“给全体人都用药”的 ATE 既缺支持也可能不是可接受干预。合理做法是把目标方案和总体限制为临床可行集合，而非用数值修补强迫恢复原目标。

推论与应用

标准化公式需要每个目标 $x$ 的两个条件均值，IP 加权则需要权重分母非零；两者的共同支持条件正是 positivity。它不能单独消除混杂：若未测病情同时影响处理和结果，即使每层都有两种处理，加权仍会平衡错误的变量集合。

实践诊断应与目标绑定：先定义 $P_X^*$ ，再检查经验支持、极端倾向概率、权重尾部和加权后的有效样本量。若支持不足，可以限制总体、合并真正等价的处理方案或收集新数据；使用更复杂的机器学习只能改善已覆盖区域内的函数逼近，不能创造缺失的干预经验。

参考资料

Brady Neal, Introduction to Causal Inference from a Machine Learning Perspective, 在线教材，2020，§2.3.4 Positivity/Overlap and Extrapolation，离散处理的共同支持与外推边界。
Miguel A. Hernán and James M. Robins, Causal Inference: What If, Chapman & Hall/CRC, 2020，Ch. 2–3 与 12。
Maya L. Petersen, Kristin E. Porter, Susan Gruber, Yue Wang, and Mark J. van der Laan, “Diagnosing and Responding to Violations in the Positivity Assumption,” Statistical Methods in Medical Research 21(1), 2012, pp. 31–54。
Daniel Westreich and Stephen R. Cole, “Invited Commentary: Positivity in Practice,” American Journal of Epidemiology 171(6), 2010, pp. 674–677。
James M. Robins, Miguel A. Hernán, and Babette Brumback, “Marginal Structural Models and Causal Inference in Epidemiology,” Epidemiology 11(5), 2000, pp. 550–560。

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