潜在结果框架 | Codeboy's Blog

形式陈述

设总体单位从分布 $P$ 抽取，处理 $A\in\mathcal A$ ，结果 $Y$ 。对每个单位和每个 $a\in\mathcal A$ ，定义潜在结果 $Y(a)$ ：若把该单位的处理设为 $a$ ，结果将取何值。有限总体表述把 $\{Y_i(a):i=1,\ldots,n\}$ 当作固定量，随机性来自分配；超总体表述则令 $(Y(a):a\in\mathcal A,A,X)$ 有一个联合分布。二元处理时，个体因果效应为 $Y(1)-Y(0)$ ，总体平均效应为 $E\{Y(1)-Y(0)\}$ 。这些期望要求相应可积性；效应属于指定总体，换一个具有不同单位构成的总体便可能改变平均值。

必须把三个层次分开。Estimand 是潜在结果分布的泛函，例如 $E\{Y(1)\}$ ；identification 问该泛函能否由观测分布 $P(Y,A,X)$ 唯一确定；estimation 才是在 $n$ 个观测上构造统计量。潜在结果符号定义了目标，却没有自动给出识别式，更没有指定回归、匹配或加权算法。

观测数据只含 $(X,A,Y)$ 。在无干扰且处理版本明确的设定中，一致性写为

Y=Y(A)\quad\text{几乎处处}.

对离散处理，也可逐个 $a$ 写成 $A=a\Rightarrow Y=Y(a)$ 。因而每个单位最多揭示潜在结果向量的一项。其余项并非普通缺失值：缺失模式由实际处理决定，通常与潜在结果有关。潜在结果之间的联合分布还含有观测数据常常无法识别的信息；例如即使两个边缘分布 $Y(0)$ 、 $Y(1)$ 都已识别，个体效应的方差仍依赖 $\operatorname{Cov}\{Y(0),Y(1)\}$ 。

直觉

因果问题比较的是同一单位所处的两个世界，而相关问题比较的是现实中落入两个组的不同单位。基本困难在于两世界不能同时被观察。随机化没有消除反事实缺失；它使缺失的那一项与处理分配在概率上可交换，于是组均值能够代表另一组看不见的世界。

“把 $A$ 改为 $a$ ”还必须对应可说明的行动。降血压药的剂量、服用时刻和依从方案若产生不同结果，却都编码成 $A=1$ ，那么 $Y(1)$ 没有唯一指向。框架因此先迫使研究者写清处理、结局、随访时点、单位和目标总体，再谈模型。它不是把时间顺序或机制藏进一个回归系数。

每个单位有两个潜在结果但只观察一个，形成因果推断的基本缺失数据问题 — 潜在结果的基本缺失数据结构

例子与边界

考虑四名学生的二元辅导方案，完整但不可同时观察的表为

学生	$Y(0)$	$Y(1)$	$A$	$Y$
1	0	1	1	1
2	0	2	1	2
3	1	2	0	1
4	2	3	0	2

这里有限总体平均效应为 $(1+2+1+1)/4=1.25$ ，但观测处理组均值与对照组均值都为 $1.5$ ，粗差为零。原因可直接复算：接受辅导的恰是基线 $Y(0)$ 较低者。表中最后一列遵守 $Y=AY(1)+(1-A)Y(0)$ ，却不足以恢复被遮住的四个反事实。

若分配改为在这四人中完全随机抽两人接受处理，则对随机化重复取期望，处理组观测均值分别无偏估计有限总体 $Y(1)$ 均值，对照组均值估计 $Y(0)$ 均值，二者之差才无偏于 $1.25$ 。这里的直接结论是设计无偏性：六种等概率分配下，均值差依次为 $0,0.5,1.5,1,2,2.5$ ，平均恰为 $1.25$ 。随机化并不保证本次抽签恰好得到 $1.25$ ，也不会让每人的两个潜在结果同时可见；它提供把分配平均与目标量相连的依据。

边界之一是干扰。疫苗接种可能降低同村未接种者的感染风险，此时学生式的 $Y_i(a_i)$ 不足以描述结果，应写 $Y_i(a_1,\ldots,a_n)$ 或按暴露映射定义方案。另一边界是处理版本：手术由不同术者实施而风险不同，把所有版本合并会使一致性无明确对象。删掉“麻烦版本”并不会让问题消失，只会把目标改成未说明的混合干预。

还要区分单位层面与总体层面。平均效应为零可以由人人无效产生，也可以由一半获益、一半受害抵消；仅识别 $E\{Y(1)-Y(0)\}$ 不能推出个体效应为零。反过来，个体效应通常不可预测，不妨碍在随机化下识别平均效应。

推论与应用

从潜在结果目标到观测式需要一条完整链：一致性把 $Y(a)$ 与接受 $a$ 者的 $Y$ 接上；交换性使接受 $a$ 者代表同协变量下总体的 $Y(a)$ ；positivity 保证这些协变量层确实出现 $a$ 。对离散处理，在 $P(A=a\mid X)>0$ 几乎处处且各项可积时，这条链具体给出

E\{Y(a)\}=E_X[E\{Y(a)\mid X\}] =E_X[E\{Y(a)\mid A=a,X\}] =E_X[E(Y\mid A=a,X)].

第一个等号是全期望公式，第二个使用条件交换性，第三个使用一致性；positivity 保证目标总体中的协变量层有可由数据确定的条件均值。三项是这条标准识别路线的充分条件，不能写成所有因果识别方法都不可替代的必要条件：工具变量、界限识别等路线依赖别的假设。缺少当前路线所需条件时，单纯增加样本无法填补识别缺口。

固定有限个单位时，也可把完整潜在结果表视为不动的对象，只对实际处理抽签取概率。尖锐随机化检验借逐人假设补全两栏；Neyman 方差允许个体效应异质，量化平均效应估计在重新分配下的波动。二者都先指定目标，却不检验同一个零假设。

多值处理、动态方案和中介效应沿用同一语法，但潜在结果的索引会变成剂量、历史或联合干预。此时应先确定 estimand 的量词与总体，再判断数据结构是否支持识别；不能先跑算法，再把输出追认为因果效应。

参考资料

Donald B. Rubin, “Estimating Causal Effects of Treatments in Randomized and Nonrandomized Studies,” Journal of Educational Psychology 66(5), 1974, pp. 688–701。
Jerzy Neyman, “On the Application of Probability Theory to Agricultural Experiments. Essay on Principles. Section 9” (1923), translated by Dorota M. Dabrowska and Terence P. Speed, Statistical Science 5(4), 1990, pp. 465–472。
Miguel A. Hernán and James M. Robins, Causal Inference: What If, Chapman & Hall/CRC, 2020，Ch. 1–3；本页另核对作者 Causal Inference 2015 讲义稿 Technical Point 2.3 与 §3.4，MIT 托管讲义。
Guido W. Imbens and Donald B. Rubin, Causal Inference for Statistics, Social, and Biomedical Sciences, Cambridge University Press, 2015，Ch. 1–3。

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