回归不连续设计

阈值两侧极接近的单位在基线上应连续变化，却因规则获得不同处理。把窗口缩向阈值，平滑的背景差异趋于零，唯独处理状态保留跳跃；结果曲线的剩余跳跃因此归于处理。

RDD 不把阈值远处的人变得可比，也不假设 $R$ 与结果无关。结果可以随分数有陡峭趋势，只要没有在同一阈值发生另一个跳跃。其因果力量来自局部连续性与分配规则，而非在全样本拟合一条直线。

单侧极限做的是局部去趋势：左侧只能看到 $Y(0)$，右侧只能看到 $Y(1)$，连续性让两条看不见的潜在结果均值曲线各自跨过阈值而不跳；于是观测曲线的跳跃等于两条曲线在同一点的垂直差。有限带宽内的斜率差不会自动消失，所以估计时允许两侧分别拟合，而不是强迫它们共用一条全局趋势。

令阈值 $c=0$，$R$ 在 0 邻域有连续密度，

且 $A=\mathbf{1}\{R\ge 0\}$。阈值左侧观测 $Y(0)$，其极限为 10；右侧观测 $Y(1)$，极限为 13，跳跃为 3。比如在 $R=-0.1$ 与 $0.1$ 的条件均值分别是 9.9 与 13.1，有限距离差为 3.2；取极限去掉了 running variable 的 0.2 背景差。

若申请人知道阈值并能反复考试，强动机且高潜在结果者可能精确挤到右侧。具体地，若右侧单位多一个类型指标 $U=1$，使未处理机制变成

即使真实处理效应仍为 3，观测跳跃也为 7。此时潜在结果连续性失败，密度在阈值堆积和预处理协变量跳跃会提供警讯。McCrary 型密度检验未显著不能证明无人操纵；功效有限，且某些离散评分本就有质量点。

另一个边界是多项式外推。用全范围高阶线性回归模型公理库线性回归统计模型Linear regression model · Linear model响应的条件均值由设计变量对未知系数线性表示，并显式规定误差结构的统计模型。基函数拟合可产生端点振荡，并让远离阈值的数据决定局部跳跃。常用做法是在预先或数据驱动带宽内分别拟合低阶局部多项式，并对带宽选择偏差做稳健校正；这仍依赖邻域内足够观测。

当 $R$ 只取整数且阈值附近没有越来越密的支持，例如评分只可能为 40、50、60，阈值 55 两侧最近点相隔 10，连续极限不能由设计本身非参数识别。可加函数形式假设比较 50 与 60，但结果不再具有理想 RDD 的近阈值无模型解释。

Sharp RDD 的推导为

两式分别用规则与一致性，连续性再把单侧极限接到同一 $R=c$ 人群，相减得到 ${\tau }_{RD}$。识别的是阈值局部效应；外推到远离阈值者需额外的效应平滑或结构模型。

应用时应同时画结果、处理概率、running variable 密度和关键基线协变量在阈值两侧的图，报告多个合理带宽与多项式阶数。伪阈值和处理前结局可用于发现其他跳跃，但通过这些检查只增加可信度，不把连续性变成可观测定理。