Lebesgue 积分

简单函数先把空间分成若干可测块，在每一块放一个高度。积分就是每个高度乘以该块的质量，再相加。块不必是相邻区间，所以这套定义也能处理离散状态、函数空间或抽象概率空间。

一般非负函数由下方的简单函数逐步逼近。这里分组依据的是函数值：所有高度落在同一小段内的点被归成一块，即使这些点在横轴上相隔很远。可测性正是保证这些分组可以测量的条件。一个明确构造是

它先把高度截在 $n$，再向下舍入到 $2^{-n}$ 的网格；每个 ${\varphi }_n$ 只有有限种取值，而且 ${\varphi }_n\uparrow f$。提高截断高度与细化刻度分别处理无界性和精度，不需要假定函数连续。

按水平层看，同一个积分满足

高度 $t$ 处的切片，记录函数仍高于这一层的区域质量。对非负简单函数逐块验证即可得到公式。对上面的 ${\varphi }_n\uparrow f$，有 $\{{\varphi }_n>t\}\uparrow \{f>t\}$，测度的从下连续性给出相应超水平集质量的单调收敛。再分别对 $X$ 上的 ${\varphi }_n$ 和 $(0,\mathrm{\infty })$ 上的这些质量函数使用单调收敛定理理路单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。，就得到一般的 layer-cake 公式；这条证明不要求 $\mu$ 为 $\sigma$-有限。

当 $\mu$ 为 $\sigma$-有限时，还有直接的换序证明。在 $X\times (0,\mathrm{\infty })$ 上取 $h(x,t)={\mathbf{1}}_{\{0<t<f(x)\}}$；集合 $\{(x,t):0<t<f(x)\}$ 是可测矩形 $\{f>q\}\times (0,q)$ 对正有理数 $q$ 的可数并，所以 $h$ 对乘积 $\sigma$-代数可测。对它应用Tonelli 定理理路Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。，先对 $t$ 积分得到 $f(x)$，先对 $x$ 积分则得到 $\mu \{f>t\}$，两种次序给出同一公式。

图中 $f(x)=2-|x-2|$ 定义在 $[0,4]$。对 $0<t<2$，超水平集为 $(t,4-t)$，长度 $4-2t$；所以积分等于 ${\int }_0^2(4-2t)dt=4$，与三角形面积一致。水平切片的宽度由超水平集决定，两种累计方式因此计算同一块面积。

同一函数，测度决定怎样汇总 ​

指示函数满足 $\int {\mathbf{1}}_{A}d\mu =\mu (A)$。若 $X=\{a,b,c\}$，$f$ 分别取 $2,0,5$，计数测度给出积分 $7$；若三点质量改为 $1/2,1/4,1/4$，积分变成 $9/4$；Dirac 测度 ${\delta }_c$ 则给出 $\int fd{\delta }_c=f(c)=5$。积分不是仅由函数图形决定的，还依赖“每个位置有多少质量”。

在 $[0,1]$ 的长度测度下，${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}$ 的积分为 $0$，因为有理点集合可数、测度为零。它却没有 Riemann 积分理路Riemann 积分Riemann integral上下和或分割和在网格细化下共同收敛所定义的积分。：每个非退化小区间里都有有理与无理点，所有下和为 $0$、上和为 $1$。闭区间上有界函数的精确联系是：不连续点集测度为零，当且仅当函数 Riemann 可积；此时两种积分相等。

无界不等于不可积，振荡也不能抵消两个无穷 ​

在 $(0,1)$ 上，$x^{-\alpha }$ 的积分恰在 $\alpha <1$ 时有限。例如 $x^{-1/2}$ 无界却可积，积分为 $2$；$1/x$ 则有扩展积分 $+\mathrm{\infty }$，不属于 $L^1$。

$\sin x/x$ 在 $(0,\mathrm{\infty })$ 的广义 Riemann 积分可以条件收敛，但它的正部、负部积分都无穷：每隔一个周期，都有一段固定宽度的区间满足 $|\sin x|\ge 1/2$，这些区间的贡献形成调和级数级别的下界。因而它的有符号 Lebesgue 积分未定义。指定一种截断或振荡抵消方式，不会使 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 变成合法积分。

逐点趋零，积分仍可不变 ​

令 $f_n=n{\mathbf{1}}_{(0,1/n)}$。对每个 $x\in [0,1]$，最终都有 $f_n(x)=0$，但

高度增长恰好抵消支撑区间的缩小。这个例子提醒我们：逐点收敛只逐个位置检查，不能独自控制质量在越来越窄的区域内集中。

何时可以交换极限与积分 ​

单调收敛定理理路单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。处理非负可测函数列 $0\le f_n\uparrow f$，结论为 $\int f_n\uparrow \int f$，允许无穷值。它正好匹配积分定义中的“从下方累积”。

对任意非负可测函数列，Fatou 引理给出

它允许质量在极限中丢失，因此一般只是不等式。上面的尖峰例子左边为 $0$、右边为 $1$。

对可测函数列，控制收敛定理理路控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。要求 $f_n\to f$ 几乎处处，并存在同一个可积函数 $g$ 使所有 $|f_n|\le g$ 几乎处处；这时 $f$ 可积，且 $\int |f_n-f|\to 0$，从而积分收敛。每个 $f_n$ 各自可积，不能替代一个共同的可积控制函数。

在两个 $\sigma$-有限测度空间的乘积上，Tonelli 定理理路Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。允许非负可测函数交换积分次序，即使结果为无穷；Fubini 定理针对绝对可积函数，给出有限的换序结果。处理有正负的二重积分时，应先核对绝对可积性，而不是凭形式对称交换次序。

零测差异、函数空间与期望 ​

可测函数只在零测集上不同，不改变积分。因此对 $1\le p<\mathrm{\infty }$，把所有满足 $\int |f{|}^p<\mathrm{\infty }$ 的可测函数按几乎处处相等取商，并配备范数

就得到$L^p$ 空间理路L^p 空间L-p space · Lebesgue space按几乎处处相等取商的积分范数空间；从尖峰和完备性走到共轭指数的对偶表示，并证明有限测度下的反身性。。这个空间本身已经完备；从“全部 $p$ 次可积可测函数”出发，不必再额外取一次完备化。只有从连续函数等较小的起始类出发时，完备化才是需要另作说明的构造。$p=\mathrm{\infty }$ 则使用本质上确界，不使用上述幂积分公式。

概率空间总质量为 $1$，其上的积分就是期望理路期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。。离散求和、密度积分和混合分布的平均都来自同一个定义；样本平均或数值求积是估计这个量的方法，而不是它的定义。

当积分被大参数指数权重放大时，主要贡献可能由极小区域决定。Varadhan 积分引理理路Varadhan 积分引理Varadhan integral lemma由大偏差速率计算指数积分的主导增长率，把概率成本与指数奖励相减后最大化。将这类指数积分的对数极限转为奖励减概率成本的上确界；无界奖励需要对加权尾积分作额外控制。