Lebesgue 积分

Riemann 积分公理库Riemann 积分Riemann integral上下和或分割和在网格细化下共同收敛所定义的积分。沿定义域切竖条，Lebesgue 积分先按取值层级整理函数：简单函数给每个可测集合贴上一个高度，再用“高度乘测度”求和；一般非负函数则由下方不断加细的简单函数逼近。这个构造不依赖区间或长度，在任意测度空间上都能运行，并天然兼容单调极限。

“积分有定义”和“可积”是两个层级。非负函数总有 $[0,\mathrm{\infty }]$ 值的扩展积分，但只有积分有限时才属于 $L^1$；有符号函数还要先排除正负两部分同时无穷。下游说“均值”或使用无条件线性、重排时，通常需要的是 $L^1$ 可积，而不是仅仅拥有扩展值积分。

对非负可测函数，按值域切层的图像还能写成 layer-cake 公式

右侧把每个高度 $t$ 上方仍有多少质量累加起来，精确表达“先按面额分堆，再数每堆数量”的直觉。

指示函数满足 $\int {\mathbf{1}}_{A}d\mu =\mu (A)$。在 $[0,1]$ 上，Dirichlet 函数 ${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}$ 几乎处处为零，故 Lebesgue 积分为 $0$；它处处不连续，Riemann 积分却不存在。更一般地，闭区间上的有界函数 Riemann 可积，当且仅当其不连续点集的 Lebesgue 测度为零；此时两种积分取相同值。所以 Lebesgue 积分严格扩展了 Riemann 积分，而不是另给一套互不相干的数值。

零测集上的修改不改变积分，因此 Lebesgue 理论自然把几乎处处相等的函数视为同一 $L^1$ 元素。可积函数也不必有界：

而 ${\int }_0^1{x}^{-1}dx=\mathrm{\infty }$。一般地，$x^{-\alpha }$ 在 $(0,1)$ 上恰在 $\alpha <1$ 时可积，$\alpha =1$ 是临界点。又如 $f(x)=\sin x/x$ 在 $(0,\mathrm{\infty })$ 上的广义 Riemann 积分条件收敛，但 $\int f^{+}=\int f^{-}=\mathrm{\infty }$，Lebesgue 积分未定义；不能借对称或振荡把 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 宣布为有限值。

极限与换序接口 ​

Lebesgue 构造的关键回报是能在明确条件下把极限送入积分。若 $0\le f_n\uparrow f$，单调收敛定理公理库单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。给出

对任意非负函数列，Fatou 引理只保证

若 $f_n\to f$ 几乎处处，且存在 $g\in L^1$ 使 $|f_n|\le g$，控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。才允许把极限与积分交换。三条结果的方向和假设不同；不能把“逐点收敛”单独当成交换依据。

乘积空间上的换序也分两层。Tonelli 定理处理非负函数，允许累次积分相等，即使共同值为 $+\mathrm{\infty }$；Fubini 定理处理 $L^1$ 函数，保证绝对可积并得到有限的换序结果。对有符号函数忽略绝对可积性，可能使积分次序改变答案。

两个结构出口 ​

以

构造的$L^p$ 空间公理库L^p 空间L-p space · Lebesgue space对 1≤p≤∞，按几乎处处相等取商并配以 Lp 范数的可测函数空间。把几乎处处相等的函数视为同一元素，并在相应范数下完备。这里“商去零测差异”和“取完备化”都是结构步骤，不是记号简化。

概率论中的期望公理库期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。则是 $\mathbb{E}[X]={\int }_{\mathrm{\Omega }}Xd\mathbb{P}$。离散求和与密度积分只是同一 Lebesgue 定义在计数测度或绝对连续分布下的坐标形式。样本均值、数值积分和风险最小化可以估计或使用这个积分，却不构成 Lebesgue 积分的定义本身。