形式陈述

在测度空间 $(X,\Sigma,\mu)$$(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 上，若非负简单函数写成 $\phi=\sum_{i=1}^m a_i\mathbf1_{A_i}$$\varphi =\sum _{i=1}^m{a}_i{\mathbf{1}}_{A_i}$，其中 $A_i$$A_i$ 两两不交且可测，则

$$ \int_X\phi\,d\mu=\sum_{i=1}^m a_i\mu(A_i). $$$${\int }_X\varphi d\mu =\sum _{i=1}^m{a}_i\mu (A_i).$$

对非负可测函数 $f$$f$，定义

$$ \int_X f\,d\mu=\sup\left\{\int_X\phi\,d\mu:0\le\phi\le f,\ \phi\text{ 为简单函数}\right\}. $$$${\int }_{X}fd\mu =sup\{{\int }_X\varphi d\mu :0\le \varphi \le f,\varphi \text{ 为简单函数}\}.$$

一般实值 $f$$f$ 写成 $f=f^+-f^-$$f=f^{+}-f^{-}$；当两部分积分不同时为 $\infty$$\mathrm{\infty }$ 时定义其积分，且 $\int|f|d\mu<\infty$$\int |f|d\mu <\mathrm{\infty }$ 时称 $f$$f$ 可积。

直觉

Lebesgue 积分先按函数值分层，计算每层所占集合的测度，再用越来越精细的简单函数从下逼近。它把“求面积”转化为可测集合大小的极限过程。

例子与边界

对可测集 $A$$A$，$\int\mathbf1_A\,d\mu=\mu(A)$$\int {\mathbf{1}}_{A}d\mu =\mu (A)$。在 $[0,1]$$[0,1]$ 上，Dirichlet 函数 $\mathbf1_{\mathbb Q}$${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}$ 的 Lebesgue 积分为 $0$$0$，尽管它处处不连续且不可 Riemann 积。若 $\int f^+=\int f^-=\infty$$\int f^{+}=\int f^{-}=\mathrm{\infty }$，表达式 $\infty-\infty$$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 未定义，不能宣称积分为零。

推论与应用

单调收敛、Fatou 引理和控制收敛定理允许在明确条件下交换极限与积分。Lebesgue 积分还定义 $L^p$$L^p$ 空间，并把随机变量的期望统一为对概率测度的积分。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999, Chapter 2.
• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995, Chapter 3.