形式陈述

给定集合 $\Omega$$\mathrm{\Omega }$，子集族 $\mathcal F\subseteq\mathcal P(\Omega)$$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$ 是 $\sigma$$\sigma$-代数，当且仅当

$$ \Omega\in\mathcal F,\quad A\in\mathcal F\Rightarrow A^{\mathsf c}\in\mathcal F,\quad A_1,A_2,\ldots\in\mathcal F\Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F. $$$$\mathrm{\Omega }\in \mathcal{F},A\in \mathcal{F}\Rightarrow A^{\mathsf{c}}\in \mathcal{F},A_1,A_2,\dots \in \mathcal{F}\Rightarrow \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in \mathcal{F}.$$

由此也对可数交和集合差封闭。

直觉

$\sigma$$\sigma$-代数指定哪些子集可以被一致地测量或赋予概率。它保留可数极限操作，同时避免在过大的子集族上强行定义互相矛盾的测度。

例子与边界

最小例子是 $\{\varnothing,\Omega\}$$\{\varnothing ,\mathrm{\Omega }\}$，最大例子是 $\mathcal P(\Omega)$$\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$；实数上的 Borel $\sigma$$\sigma$-代数由开集生成。仅对有限并封闭的代数未必对可数并封闭。

推论与应用

可测空间是 $(\Omega,\mathcal F)$$(\mathrm{\Omega },\mathcal{F})$；概率测度和一般测度定义在 $\mathcal F$$\mathcal{F}$ 上。随机变量的可测性保证事件原像仍属于事件族。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999, §1.1。
• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995, §2。