σ-代数

$\sigma$-代数是一套对极限稳定的“可提问语言”。如果 $A$ 是可判断事件，那么“$A$ 不发生”也应可判断；如果每个 $A_n$ 都可判断，那么“至少有一个 $A_n$ 发生”也应可判断。可数封闭恰好使长期事件合法，例如

表示“无穷多次发生”，而

表示“从某一时刻起总是发生”。两者都经过两层可数运算，仍属于 $\mathcal{F}$。这正是概率极限可以继续谈概率的第一道保障。

把 $\sigma$-代数理解为信息也很有用。$\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$ 意味着 $\mathcal{G}$ 能回答的问题更少：样本点没有消失，只是某些点无法凭现有观察加以区分。子 $\sigma$-代数描述同一世界上的较粗信息，并没有另换一套概率；条件期望公理库条件期望Conditional expectation给定子 σ-代数后可测、并在所有已知事件上保持原积分的随机变量。正是在这种信息限制下重新表达随机量。

为什么不干脆令 $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$？在有限或可数离散空间上通常可以，但在连续空间中，若同时要求平移不变、区间长度正确与可数可加，就不能给所有子集赋值。选取由几何上自然的集合生成、又对可数极限稳定的事件族，恰好让“长度”和“极限”一致共存；被排除的集合超出了这套测量规则的能力边界。

最小的 $\sigma$-代数是 $\{\varnothing ,\mathrm{\Omega }\}$，它只区分“绝不发生”和“必然发生”；最大的是 $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$。若 $\mathrm{\Omega }$ 有限，每个 $\sigma$-代数都对应一个唯一划分：把无法被该信息区分的样本点放进同一原子，$\mathcal{F}$ 恰由这些原子的所有并组成。

例如掷两枚硬币，令 $X$ 为正面总数。三个纤维

构成划分，而

就是这三个纤维的所有并。它能判断正面总数，却不能区分 HT 与 TH；两条结果序列仍在样本空间中，只是 $X$ 对它们给出相同观察值。

仅对有限并和补集封闭还不够。在 $\mathbb{N}$ 上，所有有限集与余有限集组成一个集合代数。每个单点 $\{2n\}$ 都在其中，但它们的可数并——偶数集——既非有限也非余有限，因而不在其中。这个反例精确指出 $\sigma$ 中“可数”二字增加了什么。

两个 $\sigma$-代数的并通常也不是 $\sigma$-代数。取 $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$，令

$\{1,2\}$ 与 $\{1,3\}$ 分别属于两边，但它们的并 $\{1,2,3\}$ 不属于 ${\mathcal{F}}_1\cup {\mathcal{F}}_2$。合并两套信息时应取 $\sigma ({\mathcal{F}}_1\cup {\mathcal{F}}_2)$，不能直接取集合族之并。

若 $A\subseteq \mathrm{\Omega }$，迹 $\sigma$-代数

以 $A$ 为新底集。它不同于子 $\sigma$-代数：后者仍以 $\mathrm{\Omega }$ 为底集，只是事件语言更粗；迹结构则真正把工作空间限制到了 $A$。

测度公理库测度Measure在可测集合上取非负扩展实值、并对不交可数并保持可加性的函数。在 $\sigma$-代数上赋予大小，概率公理公理库Kolmogorov 概率公理Kolmogorov axioms · Probability axioms把概率定义为样本空间上总质量为一的可数可加测度。再把总大小规范为 $1$。可测函数要求目标事件的逆像回到源 $\sigma$-代数；由于逆像严格保持补集、并与交，可测映射天然与这套事件语言兼容。随机变量生成的 $\sigma (X)$ 因而精确表示“观察 $X$ 所携带的信息”。

证明两个测度相等时，逐个检查 $\sigma (\mathcal{C})$ 中的集合通常不可行。$\pi$–$\lambda$ 定理和单调类定理允许先在一个易处理的生成族上验证，再把等式扩张到整个 $\sigma$-代数。生成操作的价值正在这里：它既能把少量基本事件闭包成足够丰富的语言，又保留从生成元推出全局结论的证明通道。

滤过 $({\mathcal{F}}_t)$ 是随时间递增的 $\sigma$-代数族，用来记录信息逐步揭示的过程。停止时刻、鞅和条件期望都依赖这种信息结构。由此看，$\sigma$-代数不只是测度的定义域，也是概率模型中“知道什么、何时知道”的精确语法。