总变差测度 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\nu$ 是 $(X,\Sigma)$ 上的有符号测度。对每个 $A\in\Sigma$ ，在它的所有有限可测分割上定义

|\nu|(A)=\sup\left\{\sum_{j=1}^m|\nu(A_j)|: A=\bigsqcup_{j=1}^m A_j,\ m<\infty\right\}.

这个集合函数称为总变差测度。用Jordan 分解 $\nu=\nu^+-\nu^-$ 可证明它确为正测度，并且

|\nu|=\nu^++\nu^-.

任一分割都有 $\sum_j|\nu(A_j)|\le\nu^+(A)+\nu^-(A)$ ；再用 Hahn 分区将 $A$ 切成正、负两块，便取得等号。这个论证也允许右侧为无穷，且直接给出 $|\nu(A)|\le|\nu|(A)$ 。

分割越细，原本在同一块内抵消的正负质量越能被分开；上确界取回全部变化。若 $\nu$ 是有限有符号测度，则 $|\nu|(X)<\infty$ ，并定义变差范数 $\|\nu\|_{\mathrm{var}}=|\nu|(X)$ 。若 $\nu=f\mu$ ，其中 $f$ 对正测度 $\mu$ 可积，则

d|\nu|=|f|\,d\mu, \qquad |\nu|(A)=\int_A|f|\,d\mu.

总变差还是控制 $\nu$ 的最小正测度：若正测度 $\lambda$ 满足 $|\nu(A)|\le\lambda(A)$ 对所有 $A$ 成立，则 $|\nu|\le\lambda$ 。相应地，对 $|\nu|$ -可积函数 $g$ ，有

\left|\int g\,d\nu\right| \le\int|g|\,d|\nu|.

有限复测度

若 $\nu:\Sigma\to\mathbb C$ 可数可加，同一有限分割公式仍定义 $|\nu|$ ，只是绝对值改为复数模。它是有限正测度：实部与虚部是有限实有符号测度，而且

|\nu|\le|\operatorname{Re}\nu|+|\operatorname{Im}\nu|,

所以总质量有限；把不交并与各有限分割交叉细分，再用 $\nu$ 的可数可加性和三角不等式，便得到 $|\nu|$ 的可数可加性。有限分割与可数分割给出同一个上确界，因为任意可数分割的前有限块可连同余集组成有限分割。

对 $|\nu|$ -可积的复值函数 $g$ ，积分按实部与虚部分别定义，仍有

\left|\int g\,d\nu\right|\le\int|g|\,d|\nu|, \qquad \|\nu\|_{\mathrm{var}}=|\nu|(X).

先对有限简单函数用三角不等式，再在 $L^1(|\nu|)$ 中逼近即可。上面的 Hahn 正负分区与 $\nu^++\nu^-$ 论证只针对实有符号测度；复测度需要保留相位，不能直接套用正负分解。

直觉

$\nu(A)$ 像一段路程的净位移， $|\nu|(A)$ 像沿途实际走过的总路程。先向东三公里、再向西两公里，净位移只有一公里，但总路程是五公里。有限分割公式允许观察者不断把路线切细，直到相反方向的运动不再藏在同一块里。

这也解释了为什么 $A\mapsto|\nu(A)|$ 不是正确答案。它先把整个 $A$ 的净额算完再取绝对值，已经无法恢复内部抵消；总变差则先用 Jordan 分解或分割把符号分开，最后才相加。前者只是一个集合函数，后者是可数可加的正测度。

总变差既记录大小又忘掉方向。由 $|\nu|$ 单独不能恢复 $\nu$ ；还需一个取值为 $\pm1$ 的符号密度 $h=d\nu/d|\nu|$ （实有符号情形， $|h|=1$ 在 $|\nu|$ -几乎处处），才能写成 $d\nu=h\,d|\nu|$ 。这类似向量的长度不足以确定朝向。

例子与边界

在离散可测空间中，取有符号测度

\nu=3\delta_a-2\delta_b \qquad(a\ne b),

有 $|\nu|=3\delta_a+2\delta_b$ ，所以 $\nu(X)=1$ ，而 $|\nu|(X)=5$ 。分割 $X=\{a\}\sqcup\{b\}\sqcup(X\setminus\{a,b\})$ 已达到上确界。相反，错误的集合函数 $A\mapsto|\nu(A)|$ 在两个单点上分别取 $3,2$ ，在并集上却取 $1$ ，连有限可加性都不满足。

若

\nu(A)=\int_A(2x-1)\,dx

定义在 $[0,1]$ ，则

|\nu|([0,1]) =\int_0^1|2x-1|\,dx =\frac12,

尽管 $\nu([0,1])=0$ 。以分割 $[0,1/2]\sqcup(1/2,1]$ 计算，两块绝对净值各为 $1/4$ ，已经得到总变差。

总变差测度不要与总变差距离混同。若 $P,Q$ 是概率测度，令 $\eta=P-Q$ ，本库的概率距离约定给出

\|P-Q\|_{\mathrm{TV}} =\sup_A|P(A)-Q(A)| =\frac12|\eta|(X).

有些文献把 $|\eta|(X)$ 本身称为 total variation norm，因此公式中会少或多一个 $1/2$ ；比较结论前必须先核对约定。总变差测度是定义在每个可测集上的测度，TV 距离则是两个概率分布之间的一个数。

推论与应用

有限有符号测度在变差范数下构成 Banach 空间。若 $\nu_n\to\nu$ 于该范数，则对所有满足 $\|f\|_\infty\le1$ 的可测函数，积分误差一致受控：

\left|\int f\,d\nu_n-\int f\,d\nu\right| \le |\nu_n-\nu|(X).

这比只对有界连续测试函数要求收敛的弱收敛强得多。点质量 $\delta_{1/n}$ 弱趋于 $\delta_0$ ，但二者之差的总变差质量始终为 $2$ 。

在函数分析中，有限有符号或复 Radon 测度代表 $C_0(X)$ 上的连续线性泛函，而泛函范数恰等于总变差质量。在概率论中， $P-Q$ 的正负变差识别最能区分两分布的事件区域；在偏微分方程与 BV 理论中，分布导数若是有限测度，其总变差则量化函数累积的跳跃与振荡。

参考资料

Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed., Wiley, 1999, §§3.1 and 7.2, total variation and measure representation.
Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1987, Ch. 6, total variation of complex measures.
David A. Levin, Yuval Peres, and Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd ed., American Mathematical Society, 2017, §4.1, the probability-distance convention.

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