Riesz–Markov–Kakutani 表示定理

形式陈述 ​

设 $X$ 是局部紧 Hausdorff 空间，$C_c(X)$ 表示实值连续紧支撑函数。若线性泛函 $L:C_c(X)\to \mathbb{R}$ 为正，即

则存在唯一Radon 测度理路Radon 测度Radon measure · 拉东测度局部紧 Hausdorff 空间上紧有限、对全部 Borel 集外正则且对开集紧内正则的测度。 $\mu$，使每个 $f\in C_c(X)$ 都满足

这里采用 Radon 页的外正则版本：全部 Borel 集外正则、开集紧内正则，并在紧集上有限；没有额外条件时，不把内正则性扩大到每个 Borel 集。总质量可以无穷；$C_c(X)$ 的每个函数都局限在某个紧窗口内，所以积分仍有限。

令 $C_0(X)$ 表示在无穷远处消失的连续函数，即每个 $\epsilon >0$ 的集合 $\{|f|\ge \epsilon \}$ 都紧。它组成 Banach 空间，范数为 $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。每个从 $C_0(X)$ 到 $\mathbb{R}$ 的有界线性泛函理路有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。 $L$ 都唯一对应一个有限有符号 Radon 测度 $\nu$：

而且

其中 $|\nu |$ 是总变差测度理路总变差测度Total variation measure · Variation measure把有符号测度在各可测部分上的绝对变化累积为正测度，而不让正负质量相互抵消。。复数版本把实有符号测度换成有限复 Radon 测度，范数等式保持不变。这里有限有符号或复测度称为 Radon，是指其正的总变差测度 $|\nu |$ 是 Radon 测度；有限性又使其在每个 Borel 集上紧内正则。若 $X$ 紧，则 $C_0(X)=C(X)$，常数函数 $1$ 属于其中，正泛函对应有限正测度且 $\Vert L\Vert =L(1)=\mu (X)$。

证明机制 ​

从正泛函出发，对开集 $U$ 定义候选质量

局部紧 Hausdorff 条件保证：若紧集 $K\subseteq U$，先选开集 $V$ 使 $K\subseteq V\subseteq \bar{V}\subseteq U$，且 $\bar{V}$ 紧。在这个紧 Hausdorff、因而正规的闭包上应用Urysohn 引理理路Urysohn 引理Urysohn's lemma正规空间中两个不交闭集可被连续实值函数分别映到 0 与 1。，分开 $K$ 与 $\bar{V}\setminus V$；再在闭包外延为零，得到 $0\le f\le 1$、$f{|}_K=1$ 且支撑留在 $U$ 的紧支撑连续函数。这里没有假定整个局部紧空间正规。这些 bump 函数把泛函对连续函数的取值转成开集与紧集之间的一致容量。再对任意集合取开覆盖质量的下确界，构造外测度理路外测度Outer measure定义在所有子集上、取空集为零、单调且对可数并满足次可加不等式的集合函数。；验证 Borel 集的 Carathéodory 可测性后限制到 Borel $\sigma$-代数。构造给出全部 Borel 集外正则及开集紧内正则；紧集附近的 cutoff 则控制其质量有限。这里得到的是所选外正则 Radon 版本，不是无条件的全部 Borel 集紧内正则。

若两个 Radon 测度对所有 $C_c$ 函数积分相同，用紧集—开集正则逼近及上述 bump 函数即可证明它们在开集上相同，继而在全部 Borel 集上相同。一般有界实泛函先利用 $C_0(X)$ 的向量格结构分成两个有界正泛函。对 $f\ge 0$ 可取 $L^{+}(f)=\underset{0\le g\le f}{sup}L(g)$；把 $0\le g\le f_1+f_2$ 写成 $min(g,f_1)+(g-f_1{)}_{+}$，可验证可加性，再延拓到实函数。令 $L^{-}=L^{+}-L$，两者都正，且对 $f\ge 0$ 有 $0\le L^{\pm }(f)\le \Vert L\Vert \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。分别表示这两个正泛函得到有限正测度之差 $\nu$，随后对 $\nu$ 使用Jordan 分解理路有符号测度的 Jordan 分解Jordan decomposition of a signed measure · Jordan decomposition theorem把有符号测度唯一表示成互相奇异的正测度之差，并刻画这一表示的最小性。。紧支撑 cutoff 可将任意 $C_0$ 函数一致逼近，有限总变差使积分也连续，因此表示式从 $C_c$ 延至全部 $C_0$。

范数上界来自 $|\int fd\nu |\le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}|\nu |(X)$。反向利用有限 Radon 测度的完整正则性：在 Hahn 正、负区域各取紧子集，使遗漏的总变差任意小；用同一局部 Urysohn 构造在两紧集上分别取 $+1,-1$、其余处绝对值不超过一的 $C_c$ 函数。其积分逼近 $|\nu |(X)$，便得到范数等式。

复数版本可在实值函数上分别表示 $\mathrm{Re}L$ 与 $\mathrm{Im}L$，得到 $\nu ={\nu }_1+i{\nu }_2$，再由复线性性扩到复值函数。由于 $|\nu |\le |{\nu }_1|+|{\nu }_2|$，右侧有限 Radon 测度的紧内、开外逼近同时控制左侧误差，所以 $|\nu |$ 也具有所需正则性。范数下界不能使用实数的正负号：改取逼近 $|\nu |(X)$ 的有限 Borel 分割 $(A_j)$，为每块选 $|c_j|=1$ 使 $c_j\nu (A_j)=|\nu (A_j)|$。由 $|\nu |$ 的正则性，在各块内取紧子集，令遗漏的变差任意小；局部 Urysohn 构造给出在这些互不相交紧集上分别取 $c_j$、全局模不超过一的 $C_c$ 函数。其积分逼近 $\sum _j|\nu (A_j)|$，所以复数情形也有 $\Vert L\Vert \ge |\nu |(X)$。