Riesz–Markov–Kakutani 表示定理

形式陈述

设 $X$ 是局部紧 Hausdorff 空间， $C_c(X)$ 表示实值连续紧支撑函数。若线性泛函 $L:C_c(X)\to\mathbb R$ 为正，即

f\ge0\Longrightarrow L(f)\ge0,

则存在唯一Radon 测度 $\mu$ ，使每个 $f\in C_c(X)$ 都满足

L(f)=\int_Xf\,d\mu.

这里 $\mu$ 只需在紧集上有限，总质量可以无穷； $C_c(X)$ 的每个函数都局限在某个紧窗口内，所以积分仍有限。

令 $C_0(X)$ 表示在无穷远处消失的连续函数组成的 Banach 空间，范数为 $\|f\|_\infty$ 。每个从 $C_0(X)$ 到 $\mathbb R$ 的有界线性泛函 $L$ 都唯一对应一个有限有符号 Radon 测度 $\nu$ ：

L(f)=\int_Xf\,d\nu, \qquad f\in C_0(X),

而且

\|L\|=|\nu|(X),

其中 $|\nu|$ 是总变差测度。复数版本把实有符号测度换成有限复 Radon 测度，范数等式保持不变。若 $X$ 紧，则 $C_0(X)=C(X)$ ，常数函数 $1$ 属于其中，正泛函对应有限正测度且 $\|L\|=L(1)=\mu(X)$ 。

证明机制

从正泛函出发，对开集 $U$ 定义候选质量

\mu(U)=\sup\{L(f):f\in C_c(X),\ 0\le f\le1,\ \operatorname{supp}f\subseteq U\}.

局部紧 Hausdorff 条件保证：若紧集 $K\subseteq U$ ，可构造 $f\in C_c(X)$ 在 $K$ 上等于 $1$ 、支撑仍留在 $U$ 。这些 bump 函数把泛函对连续函数的取值转成开集与紧集之间的一致容量。再由外测度扩张得到 Borel 测度；定义本身给出内外正则，紧支撑上的有限泛函值给出紧集有限性，故结果是 Radon 测度。

若两个 Radon 测度对所有 $C_c$ 函数积分相同，用紧集—开集正则逼近及上述 bump 函数即可证明它们在开集上相同，继而在全部 Borel 集上相同。一般有界实泛函利用 $C_0(X)$ 的向量格结构分成最小的正泛函 $L^+-L^-$ ，分别表示成互相奇异正测度，得到 Jordan 分解。用连续函数逼近测度的符号可证明 $\|L\|=|\nu|(X)$ ，而上界直接来自 $|\int f\,d\nu|\le\|f\|_\infty|\nu|(X)$ 。

直觉

线性泛函把每个连续探针 $f$ 压成一个数。正性说探针处处非负时读数不会为负，因此这些读数应像某种质量加权平均。定理表明，在局部紧 Hausdorff 空间上，这不是类比：所有相容读数确实来自一份唯一测度。

紧支撑函数像局部扫描仪。改变扫描仪的支撑和高度，可以逐步探测开集与紧集中的质量；正则性保证这些局部读数足以恢复任意 Borel 集。 $C_0(X)$ 允许支撑不紧但要求远处振幅消失，有界泛函因而只能对应有限总变差，否则在越来越大的近似单位上读数会失控。

定理连接的是连续函数空间的对偶与测度，不是 Hilbert 空间中的向量表示。Hilbert 空间 Riesz 表示定理用内积把泛函写成 $\langle y,x\rangle$ ；本定理用积分把泛函写成 $\int f\,d\nu$ 。二者共享 Riesz 名称，却依赖不同结构并产生不同代表对象。

例子与边界

取离散空间 $X=\mathbb N$ ，它局部紧 Hausdorff，且 $C_0(X)=c_0$ 。对任意 $a=(a_n)\in\ell^1$ ，定义

L_a(f)=\sum_{n=1}^\infty a_nf_n.

Hölder 估计给 $|L_a(f)|\le\|a\|_1\|f\|_\infty$ 。代表测度为

\nu(A)=\sum_{n\in A}a_n,

总变差满足

|\nu|(\mathbb N)=\sum_n|a_n|=\|L_a\|.

这正是熟悉的对偶恒等式 $(c_0)^*=\ell^1$ 的测度版本。

仍在 $\mathbb N$ 上， $L(f)=\sum_nf_n$ 对有限支撑函数 $f\in C_c(X)$ 是正线性泛函，代表计数 Radon 测度；它不延伸为 $c_0$ 上的有界泛函。取前 $N$ 项为 $1$ 、其余为 $0$ 的 $f^{(N)}$ ，有 $\|f^{(N)}\|_\infty=1$ ，却 $L(f^{(N)})=N$ 。这准确区分了 $C_c$ 版本允许无穷总质量，而 $C_0$ 有界对偶只允许有限总变差。

不能随意把 $C_0(X)$ 换成 $C_b(X)$ 。非紧空间上 $C_b(X)$ 的对偶通常还含不能由普通可数可加 Radon 测度表示的泛函；例如 $\ell^\infty$ 的对偶远大于 $\ell^1$ 。也不能删除局部紧 Hausdorff 条件后仍期待 $C_c(X)$ 有足够多 bump 函数分辨质量。

推论与应用

定理给出等距同构

C_0(X)^*\cong M(X),

其中 $M(X)$ 是有限有符号或复 Radon 测度的 Banach 空间，范数为总变差。于是函数空间上的弱星收敛可解释为测度对 $C_0(X)$ 测试函数的积分收敛，泛函分析的紧性工具也能直接用于测度序列。

在紧空间上，正泛函 $L:C(X)\to\mathbb R$ 满足 $L(1)=1$ 当且仅当它由 Borel 概率测度表示；其中 Dirac 测度正对应点值泛函 $f\mapsto f(x)$ 。

参考资料

Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed., Wiley, 1999, §§7.2–7.3, the Riesz representation theorem.
Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1987, Ch. 2, positive linear functionals and regular Borel measures.

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