形式陈述

设 $X,Y$$X,Y$ 为赋范空间。线性映射 $T:X\to Y$$T:X\to Y$ 称有界，若存在 $C\ge0$$C\ge 0$ 使

$$ \|Tx\|_Y\le C\|x\|_X\qquad(x\in X). $$$$\Vert Tx{\Vert }_Y\le C\Vert x{\Vert }_X(x\in X).$$

其算子范数为

$$ \|T\|=\sup_{\|x\|\le1}\|Tx\| =\sup_{x\ne0}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}. $$$$\Vert T\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{sup}\Vert Tx\Vert =\underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }.$$

对线性映射，下列条件等价：有界；在零点连续；处处连续；把有界集合映为有界集合。所有有界线性算子组成赋范空间 $\mathcal B(X,Y)$$\mathcal{B}(X,Y)$；若 $Y$$Y$ 完备，则 $\mathcal B(X,Y)$$\mathcal{B}(X,Y)$ 也完备。

直觉

线性性把全局连续性压缩成一个统一放大倍数：只需控制单位球，就控制了所有尺度上的误差传播。

例子与边界

矩阵 $A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$$A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 总是有界；Euclidean 范数下其算子范数是最大奇异值。微分算子 $D:C^1([0,1])\to C([0,1])$$D:C^1([0,1])\to C([0,1])$ 在定义域取 $\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+\Vert f^{\prime }{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 时有界，但若定义域只取 $\|f\|_\infty$$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 则无界，说明有界性依赖所选范数。有限维定义域上的线性映射自动有界；无限维中存在不连续线性映射，通常依赖选择公理构造。非线性连续映射不必把有界集映为有界集，因此上述等价性专属于线性映射。

推论与应用

有界算子是函数空间之间稳定变换的基本对象；算子范数给出离散化误差、条件数、积分变换和神经网络线性层的最坏放大率。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 1, bounded linear transformations and operator norm。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 2, continuous linear maps and operator spaces。