形式陈述

设 $U\subseteq\mathbb R^n$$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 开，线段 $[a,a+h]\subset U$$[a,a+h]\subset U$，且 $f:U\to\mathbb R$$f:U\to \mathbb{R}$ 在邻域内具有 $k+1$$k+1$ 阶连续导数。令 $D^jf(a)$$D^{j}f(a)$ 表示对称 $j$$j$-线性导数，则

$$ f(a+h)=\sum_{j=0}^{k}\frac1{j!}D^jf(a)[h,\ldots,h]+R_{k+1}(h). $$$$f(a+h)=\sum _{j=0}^k\frac{1}{j!}{D}^{j}f(a)[h,\dots ,h]+R_{k+1}(h).$$

沿一元函数 $g(t)=f(a+th)$$g(t)=f(a+th)$ 使用 Taylor 定理，可得 Lagrange 型余项

$$ R_{k+1}(h)=\frac1{(k+1)!}D^{k+1}f(a+\theta h)[h^{k+1}] $$$$R_{k+1}(h)=\frac{1}{(k+1)!}{D}^{k+1}f(a+\theta h)[h^{k+1}]$$

对某个 $\theta\in(0,1)$$\theta \in (0,1)$ 成立；也可用积分余项。于是 $R_{k+1}(h)=O(\|h\|^{k+1})$$R_{k+1}(h)=O(\Vert h{\Vert }^{k+1})$。

直觉

多元 Taylor 展开仍是沿位移 $h$$h$ 观察函数，只是各阶系数不再是单个数，而是作用于多个方向的对称多线性映射。

例子与边界

二阶展开为

$$ f(a+h)=f(a)+\nabla f(a)^Th+\tfrac12h^TH_f(a)h+o(\|h\|^2), $$$$f(a+h)=f(a)+\mathrm{\nabla }f(a{)}^{T}h+\frac{1}{2}{h}^T{H}_f(a)h+o(\Vert h{\Vert }^2),$$

其中 $H_f$$H_f$ 是 Hessian。对 $e^{x+y}$$e^{x+y}$，展开依赖 $x+y$$x+y$ 的幂并自然产生混合项。只知道函数在一点有若干阶导数不足以保证某种统一余项；标准版本需要线段邻域上的正则性。Taylor 多项式是局部近似，不保证无穷 Taylor 级数收敛到函数；光滑非解析函数仍是反例。向量值版本逐分量成立或用多线性导数表述。

推论与应用

多元 Taylor 定理给出局部误差阶、Hessian 二阶最优性判据、数值方法收敛分析和概率中的 delta method。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 9, higher derivatives and Taylor expansion in several variables。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Ch. 2, higher derivatives and Taylor's theorem。