多元 Taylor 定理

高阶导数把同一点附近多个方向的相互作用编码成对称多线性形式；二阶时就是 Hessian 所代表的二次型。沿直线 $t\mapsto a+th$ 应用一元 Taylor 定理，可把多元展开化为单参数问题，同时保留混合偏导。余项必须按 $\Vert h\Vert$ 统一变小，才足以支持任意方向的局部模型。

二阶展开为

其中 $H_f$ 是 Hessian。对 $e^{x+y}$，展开依赖 $x+y$ 的幂并自然产生混合项。这里的二阶 Peano 形式在 $f$ 于 $a$ 二阶 Fréchet 可微时就成立；前面显示的 Lagrange 形式采用更便于控制整条线段的 $C^{k+1}$ 条件。仅有若干坐标偏导数则不能替代完整的 Fréchet 可微性。Taylor 多项式是局部近似，不保证无穷 Taylor 级数收敛到函数；光滑非解析函数仍是反例。

向量值函数可逐分量展开，但 Lagrange 余项中的中间点一般随分量改变，不能合成同一个 $\theta$。例如 $g(t)=(t^2,t^3)$ 从 $0$ 到 $1$ 的零阶余项为 $(1,1)$；若等于 $g^{\prime }(\theta )=(2\theta ,3{\theta }^2)$，第一坐标迫使 $\theta =1/2$，第二坐标却变成 $3/4$。共同的积分余项或范数余项界仍然有效。

对 $f(x,y)=e^x\cos y$ 在原点展开到二阶：

没有 $xy$ 项，因为相应混合偏导在原点为零。对约束方向 $h$，二阶变化由 $h^{T}Hh$ 决定；在 $\mathrm{\nabla }f(a)=0$ 时，Hessian 正定可给严格局部极小，但半正定时高阶项仍可能决定符号。

它以多元导数理路多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。和一元 Taylor 定理为基础，梯度理路梯度Gradient标量函数微分在内积下对应的向量。给一阶项，Hessian 给二阶曲率。优化理路凸优化问题Convex optimization problem在凸可行域上最小化凸目标且不等式约束为凸函数的优化模型。中的局部最优判据与Newton 法理路Newton 非线性方程法Newton's method · Newton-Raphson method · Newton method for nonlinear systems在当前点解一阶线性化方程来修正非线性方程的近似解，并分析其局部二次收敛与失效边界。从这一展开读取线性或二次主项及其余项；Runge–Kutta 方法理路Runge–Kutta 方法Runge-Kutta method · RK method用一步内多个相互依赖的 stage 统一显式与隐式 Runge–Kutta 方法，并以 Butcher tableau、阶条件和稳定函数刻画结构。的阶条件则比较精确流与各 stage 复合后的多元展开。统计 delta method 也使用同一局部结构。流形上则需用坐标或联络处理不同点切空间的比较。