形式陈述

设 $V$ 为有限维实内积空间，$f:U\subseteq V\to \mathbb{R}$ 在点 $a$ 可微。由有限维 Riesz 表示，存在唯一向量 $\mathrm{\nabla }f(a)$ 使

$$Df(a)[h]=⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩\text{对所有 }h\in V.$$

在标准欧氏坐标中，

$$\mathrm{\nabla }f(a)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)).$$

单位方向 $u$ 的方向导数为 $D_{u}f(a)=⟨\mathrm{\nabla }f(a),u⟩$，故最大增长率为 $\Vert \mathrm{\nabla }f(a)\Vert$，在非零时由梯度方向取得。

直觉

微分 $Df(a)$ 本质上是线性泛函；内积把它“抬指标”为向量。梯度因此依赖所选内积，而微分本身不依赖坐标或度量。

例子与边界

对 $f(x,y)=x^2+3y^2$，$\mathrm{\nabla }f=(2x,6y)$，等值线的切向量与梯度正交。梯度为零只是无约束局部极值的必要条件，不是充分条件：$f(x,y)=x^2-y^2$ 在原点梯度为零却是鞍点。换用加权内积 $⟨x,y{⟩}_M=x^{T}My$ 时，同一微分对应的梯度变为 $M^{-1}{\mathrm{\nabla }}_{\mathrm{E}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{d}}f$。在无限维空间中，并非每个线性泛函都由内积向量表示，需 Hilbert 结构与连续性。

推论与应用

梯度用于最速下降、约束极值、势场、偏微分方程和 Riemann 流形上的梯度流；其坐标变化规律解释自然梯度和预条件。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 9, differentials of scalar functions。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Ch. 2, derivatives, inner products, and directional derivatives。