Cauchy–Schwarz 不等式

形式陈述 ​

设 $V$ 是实或复内积空间公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。，本页在复数情形约定内积对第一变量共轭线性、对第二变量线性，并令 $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$。对任意 $x,y\in V$，

$$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert .$$

等号成立当且仅当 $x,y$ 线性相关；这包含其中一个向量为零的情形。若 $y\ne 0$，取 $\lambda =⟨y,x⟩/\Vert y{\Vert }^2$，由非负性得到

$$0\le \Vert x-\lambda y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-\frac{|⟨x,y⟩{|}^2}{\Vert y{\Vert }^2}.$$

移项即得不等式。等号意味着 $\Vert x-\lambda y\Vert =0$，正定性于是给出 $x=\lambda y$；反向代入则立即成立。这个证明同时处理实数、复数与零向量，不需要另写坐标论证。

直觉 ​

内积测量两个方向的对齐程度，而范数之积是这种对齐量的最大预算。把 $x$ 分成沿 $y$ 的分量 $\lambda y$ 与剩余分量 $x-\lambda y$ 后，后者的平方长度不能为负，因此沿 $y$ 的那一部分不可能比 $x$ 本身更长。复内积中的绝对值抹去相位：同一条复直线上的向量即使相差复数相位，仍应视为完全对齐。

例子与边界 ​

在 ${\mathbb{C}}^n$ 的标准内积 $⟨a,b⟩=\sum _i\overline{a_i}{b}_i$ 下，定理成为

$${\left|\sum _i\overline{a_i}{b}_i\right|}^2\le (\sum _i|a_i{|}^2)(\sum _i|b_i{|}^2).$$

取 $b=ia$ 时等号成立；若只检查“正实数倍”，就会漏掉这个复相位情形。另一方面，半正定 Hermitian 形式也满足同样的不等式，但它只给半范数。例如在 ${\mathbb{R}}^2$ 上令 $B((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1{y}_1$，向量 $(0,1)$ 非零却有 $B(v,v)=0$，并且它与任意 $w$ 都取等号 $|B(v,w)|=0=\Vert v{\Vert }_B\Vert w{\Vert }_B$；因此“等号当且仅当线性相关”已经失效。必须先商去零空间，才恢复内积空间版本的等号刻画。

推论与应用 ​

对 $x+y$ 展开平方并控制交叉项，可得三角不等式公理库Minkowski 不等式Minkowski inequality$L^p$ 范数满足三角不等式。 $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$。固定 $y$ 后，线性泛函 $x\mapsto ⟨y,x⟩$ 的算子范数恰为 $\Vert y\Vert$，这是 Hilbert 空间对偶表示的起点。在概率论中，对中心化随机变量使用 $L^2$ 内积可得 $|\mathrm{Cov}(X,Y)|\le \sqrt{\mathrm{Var}X\mathrm{Var}Y}$，从而相关系数必在 $[-1,1]$；作为积分或序列不等式，它也正是Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。在 $p=q=2$ 时的专门情形。

参考资料

• MIT OpenCourseWare, 18.102 Introduction to Functional Analysis, Lecture 3, Lemma 3.2, Cauchy–Schwarz inequality and induced norm.
• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024, Ch. 6, inner products and the Cauchy–Schwarz inequality.