形式陈述

二阶矩方法利用 $\mathbb E[X]$$\mathbb{E}[X]$ 与 $\mathbb E[X^2]$$\mathbb{E}[X^2]$ 控制非负随机变量取正值的概率。Cauchy–Schwarz 给出

$$ \mathbb P(X>0)\ge\frac{(\mathbb E X)^2}{\mathbb E[X^2]} $$$$\mathbb{P}(X>0)\ge \frac{(\mathbb{E}X{)}^2}{\mathbb{E}[X^2]}$$

只要 $0<\mathbb E[X^2]<\infty$$0<\mathbb{E}[X^2]<\mathrm{\infty }$。更一般的 Paley–Zygmund 不等式称，对 $0\le\theta<1$$0\le \theta <1$，

$$ \mathbb P(X\ge\theta\mathbb E X) \ge(1-\theta)^2\frac{(\mathbb E X)^2}{\mathbb E[X^2]}. $$$$\mathbb{P}(X\ge \theta \mathbb{E}X)\ge (1-\theta {)}^2\frac{(\mathbb{E}X{)}^2}{\mathbb{E}[X^2]}.$$

对一列非负随机变量 $(X_n)$$(X_n)$，若 $\mathbb E X_n>0$$\mathbb{E}{X}_n>0$ 且 $\operatorname{Var}(X_n)=o((\mathbb E X_n)^2)$$\mathrm{Var}(X_n)=o((\mathbb{E}{X}_n{)}^2)$，则 $X_n/\mathbb E X_n\to1$$X_n/\mathbb{E}{X}_n\to 1$ 依概率。

直觉

一阶矩能证明某对象有时存在；二阶矩进一步检查计数是否被极少数异常样本垄断。若二阶矩与均值平方同阶，正计数通常具有正概率。

例子与边界

令 $X$$X$ 计数随机图中的某类子图，展开 $X^2$$X^2$ 会按两份子图的重叠类型求和，相关性正由这些重叠项体现。若 $X$$X$ 是 Bernoulli 变量，上述二阶矩下界达到等号。二阶矩下界可能很弱，尤其当分布重尾时。仅知方差有限不自动证明 $X>0$$X>0$ 高概率；必须比较方差与均值平方。方法通常给存在性或集中性，而不直接给构造算法。

推论与应用

二阶矩方法用于随机图阈值、随机满足性、组合结构存在和分枝过程存活概率，是第一矩方法与更强集中不等式之间的核心层次。

参考资料

• Noga Alon and Joel H. Spencer, The Probabilistic Method, 4th ed., Wiley, 2016，Chs. 3–4, second moment and correlation arguments。
• Béla Bollobás, Modern Graph Theory, Springer, 1998，Ch. I, first and second moment methods in random graphs。