方差

方差是“用一个常数预测 $X$”所无法消去的最小平方误差。对任意常数 $c$，

交叉项取期望后为零，因此

均值由此成为平方损失下唯一的最佳常数预测，最小风险就是方差。这一恒等式比“平均离均值多远”更精确，也预告了 $L^2$ 投影、偏差—方差分解和条件期望的几何结构。

把分布看成总质量为一的物体，期望是质心，方差类似绕质心的转动惯量：距离中心两倍远的质量会贡献四倍。平方带来漂亮的代数和正交结构，却也让方差对极端尾部格外敏感；完整描述分布形状或风险还需要尾概率、分位数等信息。

若 $X\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$，则 $X^2=X$，所以

方差在 $p=1/2$ 时达到 $1/4$，在 $p$ 接近 $0$ 或 $1$ 时趋于零。这个变化具有预测含义：几乎总取同一值的比特容易预测，胜负各半时平方误差最大。

温标转换展示单位规则。若摄氏温度为 $X$，华氏温度为 $Y=1.8X+32$，则

常数 $32$ 只移动中心，不改变散布；标准差随单位线性变化，方差则带平方单位。

有限均值不保证有限方差。取 Pareto 分布

它满足 $\mathbb{E}X<\mathrm{\infty }$，但 $\mathbb{E}[X^2]=\mathrm{\infty }$，因此没有有限方差。这里平均位置存在，尾部波动却无法压缩成一个有限二阶尺度；任何依赖方差的误差界都需要改用更强尾部假设或稳健方法。

相同方差也不意味着相同风险形态。标准正态分布与 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ 上的均匀分布都具有方差 $1$，前者无界而后者严格有界。方差控制的是一个二阶平均，不能单独决定尾概率、偏度或极端值行为。

对有限二阶矩变量，和的方差由协方差公理库协方差Covariance两个随机变量中心化乘积的期望，衡量线性共同变化。补齐：

只要协方差为零，方差便可加。独立性足以推出零协方差，反向推论通常不成立。对一族变量，只知道每一对不相关即可消去二阶交叉项，但这仍不推出它们相互独立。

Chebyshev 不等式公理库Chebyshev 不等式Chebyshev's inequality随机变量偏离均值至少给定距离的概率由方差除以距离平方控制。把二阶平均转成分布无关的尾界：

它通常不够锋利，却只要求有限方差。对共同均值、两两不相关且方差有统一上界的样本，样本均值方差按 $1/n$ 衰减，配合 Chebyshev 即得到一类弱大数律。

给定信息后，总波动分解为

第一项是信息块内仍未解释的波动，第二项是不同信息块预测值之间的波动。该式既说明条件平均为何能降低平方误差，也构成统计中的组内—组间分解。

Monte Carlo 把 $\mathrm{sd}(X)/\sqrt{n}$ 作为独立样本均值的基础波动尺度；固定置信度下的误差区间还需 Chebyshev、中心极限定理或集中不等式连接到概率陈述。平方损失下的估计风险同样要区分抽样方差、偏差平方与不可约噪声，预测值的方差无法单独代表泛化误差。