形式陈述

若随机变量 $X$$X$ 具有有限二阶矩，则方差定义为

$$ \operatorname{Var}(X)=\mathbb E[(X-\mathbb E X)^2] =\mathbb E[X^2]-(\mathbb E X)^2. $$$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}X{)}^2]=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}X{)}^2.$$

它非负，且

$$ \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X). $$$$\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X).$$

方差为零当且仅当 $X$$X$ 几乎必然等于常数 $\mathbb E X$$\mathbb{E}X$。标准差 $\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$$\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ 与 $X$$X$ 具有相同量纲。

直觉

方差是到最佳常数近似——均值——的平方 $L^2$$L^2$ 距离，衡量分布围绕均值的平均二次离散程度。

例子与边界

Bernoulli$(p)$$(p)$ 变量的方差为 $p(1-p)$$p(1-p)$。平移不改变方差，缩放则平方缩放。方差只在二阶矩有限时定义为有限数；Cauchy 分布没有方差，不能把形式积分中的抵消当作零。相同方差的分布可有完全不同尾部和形状，方差不单独决定风险。对独立变量，和的方差相加；不独立时还需协方差项。

推论与应用

方差产生 Chebyshev 不等式、最小二乘、误差传播、二阶矩方法和统计估计中的均方误差分解。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Ch. 4, moments and variance。
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019，Ch. 7, expectation, variance, and standard deviation。