增广 Dickey–Fuller 检验

形式陈述

\Delta y_t=\alpha+\beta t+\gamma y_{t-1} +\sum_{i=1}^{p}\delta_i\Delta y_{t-i}+u_t

检验单位根过程零假设 $H_0:\gamma=0$ ，对立通常为 $H_1:\gamma<0$ 。它来自 AR( $p+1$ ) 水平回归的重参数化；滞后差分项用于吸收短期序列相关，使 $u_t$ 近似白噪声。“增广”指 $p>0$ 的这些项， $p=0$ 退化为 Dickey–Fuller 回归。

统计量是 $\widehat\gamma/\operatorname{se}(\widehat\gamma)$ ，但在 $H_0$ 下不服从通常 Student $t$ 分布，而收敛到 Brownian 泛函的 Dickey–Fuller 分布。是否包含无截距、截距或截距加线性趋势，会得到不同的极限分布与临界值；样本长度和校准方法也影响有限样本阈值。拒绝区域在左尾。滞后阶数太小会留下相关误差、破坏校准，太大会损失功效。

直觉

若水平含单位根，上一期水平对本期变化没有均值回复项，故 $\gamma=0$ ；若过程围绕固定均值或确定性趋势平稳，偏离较高时下一期变化倾向向下，通常 $\gamma<0$ 。回归中的滞后差分只负责清理短期动力，使检验聚焦长期根，并不是额外几次差分。

ADF 的零假设是“含单位根”，所以大 $p$ 值不是平稳性的证明。检验在近单位根下功效低，结构突变会偏向不拒绝，错误确定性项也会改变结论。它回答的是指定 AR 近似与确定性项下的一条根假设，不能替代对趋势、季节根、断点、非线性或分数积分的建模判断。

例子与边界

取短序列

(y_0,\ldots,y_6)=(4,3,2,2,1,0,0),

做无截距、无趋势、含一个滞后差分的 ADF 回归，使用 $t=2,\ldots,6$ 。响应是 $(-1,0,-1,-1,0)$ ，两列解释变量 $y_{t-1}$ 与 $\Delta y_{t-1}$ 分别为 $(3,2,2,1,0)$ 和 $(-1,-1,0,-1,-1)$ 。于是

X^{\mathsf T}X=\begin{pmatrix}18&-6\\-6&4\end{pmatrix}, \qquad X^{\mathsf T}\Delta y=\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix},

解得 $(\widehat\gamma,\widehat\delta_1)=(-1/3,0)$ 。残差为 $(0,2/3,-1/3,-2/3,0)$ ，残差平方和为 $1$ ；五个观测估两参数，故 $s^2=1/3$ 。矩阵逆左上元为 $1/9$ ，从而

\operatorname{se}(\widehat\gamma)=\sqrt{(1/3)(1/9)}=\frac1{3\sqrt3}, \qquad \tau=\frac{-1/3}{1/(3\sqrt3)}=-\sqrt3\approx-1.732.

这完整演示了 ADF 统计量计算，却不能用普通 $t_3$ 表判决；样本仅五个有效回归点，任何渐近临界值也很粗糙。若看过路径后才选择“无截距”，再挑使结果最显著的滞后阶数，名义显著性水平已经失效。对 $\rho=0.99$ 的近单位根，合理样本下不拒绝很常见；这正是有限样本低功效，而非 $\rho$ 必为 $1$ 。

推论与应用

实务上应先按科学问题选择确定性项，再以预设上限通过信息准则或序贯规则选 $p$ ，检查残差相关，最后使用与该确定性规格和样本校准一致的临界值或 MacKinnon $p$ 值。报告回归区间、有效样本数、滞后阶数、确定性项、统计量与临界值，不能只给软件返回的一个 $p$ 值。

拒绝 $H_0$ 支持所设确定性成分周围的平稳对立；不拒绝可促使差分，但还应与 KPSS 类“平稳为零假设”的检验、断点检验和预测验证交叉判断。对季节单位根要使用相应季节检验，对多变量共同趋势要用协整方法。ADF 并不估计 ARIMA 的全部参数，也不会自动选择差分次数。

参考资料

David A. Dickey and Wayne A. Fuller, “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root,” Journal of the American Statistical Association 74(366), 1979, pp. 427–431。
Said E. Said and David A. Dickey, “Testing for Unit Roots in Autoregressive-Moving Average Models of Unknown Order,” Biometrika 71(3), 1984, pp. 599–607，ADF augmentation and asymptotics。
James G. MacKinnon, “Numerical Distribution Functions for Unit Root and Cointegration Tests,” Journal of Applied Econometrics 11(6), 1996, pp. 601–618，response surfaces and calibrated critical values。

形式陈述 ​

反向链接

形式陈述