增广 Dickey–Fuller 检验

形式陈述

ADF 是针对动态线性回归模型中单位根约束的统计检验。这里采用逐行的条件均值模型：当 $E(u_t\mid\mathcal F_{t-1})=0$ 且滞后解释变量由过去信息 $\mathcal F_{t-1}$ 决定时，给定本行解释变量的误差均值为零。它不要求给定整张滞后设计矩阵后误差向量仍为零均值，因为未来设计行可能透露较早的创新；下述 IID 基准满足前一种条件。其回归式为

\Delta y_t=\alpha+\beta t+\gamma y_{t-1} +\sum_{i=1}^{p}\delta_i\Delta y_{t-i}+u_t

这里 $\Delta y_t=y_t-y_{t-1}$ 是一期差分， $p$ 是纳入的差分滞后数， $u_t$ 是剩余扰动。检验针对单位根过程零假设 $H_0:\gamma=0$ ，对立通常写成 $H_1:\gamma<0$ ；把这个对立解释为平稳，还需排除其他单位根或爆炸根。

它来自 AR( $p+1$ ) 水平回归的重参数化。例如 $y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+u_t$ 可改写为

\Delta y_t=(\phi_1+\phi_2-1)y_{t-1}-\phi_2\Delta y_{t-1}+u_t.

所以 $\gamma=\phi_1+\phi_2-1$ ， $\delta_1=-\phi_2$ ； $\gamma=0$ 正对应 AR 多项式在 $1$ 处为零。差分滞后项吸收剩余的短期动力，使 $u_t$ 近似白噪声。“增广”指 $p>0$ 的这些项， $p=0$ 退化为 Dickey–Fuller 回归。

统计量是 $\widehat\gamma/\operatorname{se}(\widehat\gamma)$ ，它不能按固定设计的 Student $t$ 分布校准。Dickey–Fuller 极限还需要正确的短期动力与创新条件；只说扰动不相关并不足够。下面推导一个明确基准：无截距、无趋势、 $p=0$ ， $y_0=0$ ，且零假设下 $y_t=y_{t-1}+u_t$ ，其中 $u_t$ 独立同分布、均值零、方差 $0<\sigma^2<\infty$ 。此时统计量趋于下面给出的 Brownian 泛函。是否包含无截距、截距或截距加线性趋势，会得到不同的极限分布与临界值；样本长度和校准方法也影响有限样本阈值。拒绝区域在左尾。滞后阶数太小会留下相关误差、破坏校准，太大会损失功效。

直觉

若水平含单位根，上一期水平对本期变化没有均值回复项，故 $\gamma=0$ ；若过程围绕固定均值或确定性趋势平稳，偏离较高时下一期变化倾向向下，通常 $\gamma<0$ 。回归中的滞后差分只负责清理短期动力，使检验聚焦长期根，并不是额外几次差分。

图中的判决要点是把统计量与相同回归规格的左尾临界值比较：越负才越反对单位根。ADF 的零假设是“含单位根”，所以大 $p$ 值既不是平稳性的证明，也不是单位根确实存在的证明。检验在近单位根下功效低，结构突变会偏向不拒绝，错误确定性项也会改变结论。它回答的是指定 AR 近似与确定性项下的一条根假设，不能替代对趋势、季节根、断点、非线性或分数积分的建模判断。

例子与边界

取短序列

(y_0,\ldots,y_6)=(4,3,2,2,1,0,0),

做无截距、无趋势、含一个滞后差分的 ADF 回归，使用 $t=2,\ldots,6$ 。响应是 $(-1,0,-1,-1,0)$ ，两列解释变量 $y_{t-1}$ 与 $\Delta y_{t-1}$ 分别为 $(3,2,2,1,0)$ 和 $(-1,-1,0,-1,-1)$ 。于是

X^{\mathsf T}X=\begin{pmatrix}18&-6\\-6&4\end{pmatrix}, \qquad X^{\mathsf T}\Delta y=\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix},

由正规方程解得 $(\widehat\gamma,\widehat\delta_1)=(-1/3,0)$ 。残差为 $(0,2/3,-1/3,-2/3,0)$ ，残差平方和为 $1$ ；五个观测估两参数，故 $s^2=1/3$ 。矩阵逆左上元为 $1/9$ ，从而

\operatorname{se}(\widehat\gamma)=\sqrt{(1/3)(1/9)}=\frac1{3\sqrt3}, \qquad \tau=\frac{-1/3}{1/(3\sqrt3)}=-\sqrt3\approx-1.732.

这完整演示了 ADF 统计量计算，却不能用普通 $t_3$ 表判决；样本仅五个有效回归点，任何渐近临界值也很粗糙。若看过路径后才选择“无截距”，再挑使结果最显著的滞后阶数，名义显著性水平已经失效。对 $\rho=0.99$ 的近单位根，合理样本下不拒绝很常见；这正是有限样本低功效，而非 $\rho$ 必为 $1$ 。

推论与应用

无漂移基准的非标准极限

在形式陈述的 $p=0$ 基准中，取 $n\ge2$ ，令 $A_n=\sum_{t=1}^ny_{t-1}u_t$ 、 $D_n=\sum_{t=1}^ny_{t-1}^2$ 。最小二乘给 $\widehat\gamma=A_n/D_n$ ；平方增量恒等式给

2A_n=y_n^2-\sum_{t=1}^nu_t^2.

对 $y_t/(\sigma\sqrt n)$ 的折线插值用Donsker 不变性原理，得到标准 Brownian 运动 $W$ 。强大数定律同时给出 $n^{-1}\sum u_t^2\to\sigma^2$ 。路径取终值与平方积分是连续泛函；折线与网格左端阶梯的最大差依概率趋零，所以连续映射定理还给

\frac{A_n}{n\sigma^2}\Rightarrow\frac{W(1)^2-1}{2}, \qquad \frac{D_n}{n^2\sigma^2}\Rightarrow\int_0^1W(r)^2\,dr,

而且这两个极限联合成立。右侧积分几乎必然为正。残差平方和为 $\sum u_t^2-A_n^2/D_n$ ，第二项为 $O_P(1)$ ，故 $s_n^2=\mathrm{RSS}/(n-1)\to\sigma^2$ 依概率。由Slutsky 定理，

\tau_n=\frac{\widehat\gamma\sqrt{D_n}}{s_n} \Rightarrow \frac{W(1)^2-1}{2\sqrt{\int_0^1W(r)^2\,dr}}.

有限样本若 $D_n=0$ ，可把统计量另定为零；该事件要求前 $n-1$ 个创新全为零，其概率趋零，不改变极限。这个推导说明非标准性来自随机游走的整条路径，不能把上一期水平当成一张固定的外生设计表。

含增广项、截距或趋势的规格需要相应定理，包括剩余 AR 多项式稳定、创新的矩与弱依赖条件、初值和确定性项的设定。更一般的 ADF 不能仅凭残差 ACF 看起来平坦就继承上述极限。

按同一规格校准与报告

实务上应先按科学问题选择确定性项，再以预设上限通过信息准则或序贯规则选 $p$ ，检查残差相关，最后使用与该确定性规格和样本校准一致的临界值或 MacKinnon $p$ 值。报告回归区间、有效样本数、滞后阶数、确定性项、统计量与临界值，不能只给软件返回的一个 $p$ 值。

拒绝 $H_0$ 支持所设确定性成分周围的平稳对立；不拒绝可促使差分，但还应与 KPSS 类“平稳为零假设”的检验、断点检验和预测验证交叉判断。对季节单位根要使用相应季节检验，对多变量共同趋势要用协整方法。ADF 并不估计 ARIMA 的全部参数，也不会自动选择差分次数。

参考资料

Howard Seltman, CMU MSP 36-618 Time Series, Lecture 8: Unit Roots + Misc., Carnegie Mellon University 课程讲义，§II，单位根检验的确定性项及判决说明（页面未标明年份）。
Joon Y. Park, Bootstrap Unit Root Tests, Econometrica 71(6), 2003，§2.1，Assumption 2.1 与式 (3)–(4) 后的 Brownian 极限；本文直接证明其中无增广项、无漂移的有限方差基准。
David A. Dickey and Wayne A. Fuller, “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root,” Journal of the American Statistical Association 74(366), 1979, pp. 427–431。
Said E. Said and David A. Dickey, “Testing for Unit Roots in Autoregressive-Moving Average Models of Unknown Order,” Biometrika 71(3), 1984, pp. 599–607，ADF augmentation and asymptotics。
James G. MacKinnon, “Numerical Distribution Functions for Unit Root and Cointegration Tests,” Journal of Applied Econometrics 11(6), 1996, pp. 601–618，response surfaces and calibrated critical values。

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按同一规格校准与报告 ​

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