单位根过程 | Codeboy's Blog

形式陈述

在线性 ARMA 表示已经消除 AR 与 MA 公因子的前提下，若自回归多项式 $\phi(z)$ 在单位圆上有零点，则称其含单位根。最常见的简单实单位根满足 $\phi(1)=0$ ，可因式分解为

\phi(B)=(1-B)\widetilde\phi(B).

若 $\widetilde\phi$ 的零点全在单位圆外，且 $\Delta X_t=(1-B)X_t$ 是长期方差严格为正的弱平稳 ARMA 过程（长期方差指各阶自协方差的双边和），而 $X_t$ 本身不弱平稳，则 $X_t$ 称 I(1) 单位根过程。更一般地，做 $d$ 次差分后平稳而少于 $d$ 次不平稳，称 I( $d$ )；这正落在ARIMA 模型的积分结构内。季节根如 $z=-1$ 或复单位根对应其他单位圆频率，不能都靠普通一阶差分消除。

AR(1) $X_t=\rho X_{t-1}+\varepsilon_t$ 在 $\rho=1$ 时是随机游走；若含漂移则为 $X_t=c+X_{t-1}+\varepsilon_t$ 。初值 $X_0$ 是过程分布的一部分。若创新独立同分布、均值为零、方差为 $\sigma^2>0$ ，且独立于初值，则 $\operatorname{Var}(X_t\mid X_0)=t\sigma^2$ ，其二阶结构依赖绝对时间；非退化 I(1) 单位根过程因此与弱平稳过程形成对照：其均值或协方差不能保持时间平移不变。

直觉

平稳 AR 的冲击会按稳定脉冲响应逐渐消退；单位根把衰减因子变成一，某次创新从发生后永久进入所有未来水平。序列可以反复上下走而没有确定向上的趋势，却仍因冲击积累而使分布越来越分散。差分相邻水平会消去共同累积部分，只留下当期新增量，于是恢复平稳。

“看起来很持久”不等于单位根。 $\rho=0.99$ 的 AR(1) 终究均值回归，只是半衰期约为 $\log(1/2)/\log(0.99)\approx68.97$ 期； $\rho=1$ 的冲击永不衰减。在相对于回归速度较短的样本中，两者路径可能极像，估计量在零假设附近也有非标准分布，所以必须把近单位根作为真实的不确定边界，而不是按估计值四舍五入分类。

例子与边界

令 $X_0=0$ ， $X_t=X_{t-1}+\varepsilon_t$ ，其中创新独立、均值 $0$ 、方差 $4$ 。则

X_t=\sum_{j=1}^t\varepsilon_j,\qquad \mathbb EX_t=0,\qquad \operatorname{Var}(X_t)=4t,\qquad \operatorname{Cov}(X_s,X_t)=4\min(s,t).

例如方差从 $t=5$ 的 $20$ 增到 $t=20$ 的 $80$ ，相同滞后 $1$ 的协方差也随基准时刻改变，故水平没有仅依赖滞后的 ACVF。差分 $\Delta X_t=\varepsilon_t$ 却是方差 $4$ 的白噪声。若一次实际创新为 $(1,-2,3,-1)$ ，水平路径为 $(1,-1,2,1)$ ；第三期的 $+3$ 永远把其后水平提高 $3$ ，而非只影响第三期。

对照 $Y_t=0.99Y_{t-1}+u_t$ 、 $\operatorname{Var}(u_t)=1$ ，平稳方差是 $1/(1-0.99^2)\approx50.2513$ ，虽大但不随 $t$ 继续增长。确定性趋势模型 $Z_t=at+v_t$ 也非平稳，但去掉 $at$ 后可平稳，冲击 $v_t$ 不永久改变趋势；盲目差分会把 $v_t-v_{t-1}$ 引成 MA 结构。结构突变则可产生一次永久均值跳跃，却不等同于每期都有随机单位根冲击。

不能只看到方程里的 $(1-B)$ 就判定存在随机趋势。例如

(1-B)X_t=(1-B)\varepsilon_t

允许平稳解 $X_t=\varepsilon_t$ ；左右的共同因子没有产生累积创新。相应地， $\Delta X_t=\varepsilon_t-\varepsilon_{t-1}$ 虽非退化且平稳，其单期方差为 $2\sigma^2$ 、一阶协方差为 $-\sigma^2$ ，其余滞后协方差为零，所以长期方差为 $2\sigma^2-2\sigma^2=0$ 。判断积分阶数要检查约简表示与零频率，而不只检查差分序列的单期方差。

推论与应用

单位根使常规平稳渐近失效：AR 系数估计以不同速率收敛，通常的 Student $t$ 临界值不适用；增广 Dickey–Fuller 检验正为 $\rho=1$ 的非标准零假设校准。检验的低功效意味着“不拒绝”不能证明单位根，只表示数据与该零假设相容。确定性截距、趋势和滞后长度改变极限分布与临界值，必须在检验前明确。

预测 I(1) 水平时，长期预测误差方差随期限累积，置信带不会像平稳 AR 那样收敛到固定无条件方差。差分建模能恢复短期动力，却丢失水平的长期锚；若多个 I(1) 序列的某个线性组合平稳，则进入协整而非分别差分后互不关联的情形。本文只讨论单变量单位根，不能据此推出任意共同趋势结构。

参考资料

Rob J. Hyndman and George Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice, 3rd ed., OTexts, 2021，§§9.1–9.2，平稳与差分、后移记号。
Clifford M. Hurvich, Differencing and Unit Root Tests, New York University 课程讲义，未标年份，pp. 1–8，尤其“The Backshift Operator, Differencing, and Unit Roots”，讲义。

形式陈述 ​

反向链接

形式陈述