后移算子

$B$ 像时间轴上的一个“向左一步”按钮。把多次按键组成多项式后，AR 方程、MA 滤波、差分和季节操作都变成普通多项式运算；根的位置随即编码反馈是否衰减、滤波是否可逆。它节省的是记号和推导，不改变数据本身，也不会自动估计任何参数。

双边理论序列与有限样本要分开。理论上 $B{x}_1=x_0$ 总有定义，因为索引遍及整数；观测只有 $x_1,\dots ,x_n$ 时，$x_0$ 未知，差分后自然少一个可用值。软件选择丢弃、填补或条件化于初值，会改变似然和早期预测。把缺失边界默认为零相当于加入实质模型假设，而不是后移算子的代数性质。

对观测 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(3,5,10,18)$，可计算的一阶差分为

二阶差分为 $(3,3)$。算子展开给

所以 $10-2\cdot 5+3=3$、$18-2\cdot 10+5=3$。若月度序列用 $1-B^{12}$，则首个季节差分需要 $x_{13}-x_1$，至少损失前十二个观测位置。

对 $X_t=0.6X_{t-1}+{\epsilon }_t$，写成 $(1-0.6B)X_t={\epsilon }_t$，因 $|0.6|<1$，

从有限起点递推同一个 AR(1) 方程则得到

这条等式保留初值的影响；双边平稳无限和则对应把初始化放在无限远过去。由于 ${0.6}^t\to 0$，两种表示的差异逐渐消退，但在有限样本开头不能直接删去。

例如 $X_t=2X_{t-1}+{\epsilon }_t$ 不能展开成收敛的过去噪声和，却有未来向表示 $X_t=-\sum _{j\ge 1}{2}^{-j}{\epsilon }_{t+j}$。代回去时，$2X_{t-1}$ 的第一项是 $-{\epsilon }_t$，被右侧的 $+{\epsilon }_t$ 抵消，其余恰好组成 $X_t$。对白噪声输入该级数可在均方意义下收敛，但它依赖未来冲击，不是实时可用的因果表示。

若系数换成 $1$，几何权重不衰减，不能把 $(1-B{)}^{-1}$ 当绝对可和的平稳滤波器；它是累加，需初值并产生单位根过程。若有限样本采用循环移位让 $B{x}_1=x_n$，那是周期边界算子，与时间序列通常的未知过去并非同一对象。

自回归过程理路自回归过程Autoregressive process · AR process当前值由有限个过去值的线性组合与当期白噪声驱动项构成的时间序列模型。用 $\varphi (B)$ 编码反馈，移动平均过程理路移动平均过程Moving-average process · MA process当前值由有限个当期与过去白噪声驱动项线性组合构成的时间序列模型。用 $\theta (B)$ 编码创新滤波，ARMA 过程理路ARMA 过程ARMA process · Autoregressive moving-average process由有限阶自回归反馈与移动平均冲击组成的线性时序模型，平稳性、因果性和可逆性须分别检验。把二者置于方程两侧。ARIMA 模型理路ARIMA 模型ARIMA model · Autoregressive integrated moving-average model经有限次差分后成为平稳 ARMA 过程的自回归积分移动平均模型。再加入 $(1-B{)}^d$，把需要差分的非平稳方向显式分离。多项式是否有公因子决定表示能否约简，零点相对单位圆的位置决定因果与可逆，而不是单凭系数符号判断。

实际计算中，算子记号应最终展开成明确递推或卷积，并声明初始样本怎样处理。对缺口不规则的时间戳，$B$ 表示“上一索引”不一定等于固定日历间隔；直接套月度或日度差分会混淆采样间距。多变量序列还可把系数换成矩阵，但矩阵多项式的稳定性需检查行列式零点，不能逐元素沿用标量规则。此外，常系数矩阵与时间平移交换，却未必与另一系数矩阵交换；因此标量多项式的任意交换因子次序不能原样搬过去。