随机过程

一次随机变量实验输出一个值；随机过程的一次实验输出整条轨迹。不同时间坐标不是反复进行互不相关的实验，而是同一个 $\omega$ 在所有索引上的共同表现。研究过程时可以切换两个视角：横向固定时间，比较随机变量的分布；纵向固定样本点，观察一条路径怎样演化。独立、平稳、Markov、鞅和路径连续性都是施加在这族坐标或其信息结构上的额外条件，“随机过程”这个对象层本身并不预装任何一种。

独立抛硬币得到 ${\xi }_n\in \{-1,1\}$，累计和

构成离散时间、离散状态的简单随机游走。一次观测得到的是 $0,1,0,-1,\dots$ 这样的一条路径，而 $S_4$ 只是路径在第四步的一个截面。若令 $X_t(\omega )=t^2$ 与 $\omega$ 无关，也仍是随机过程，只是所有样本路径完全相同，说明“过程”允许退化的确定性情形。

有限维分布与路径性质的区别可以精确展示。取 $U$ 在 $[0,1]$ 均匀，定义 $X_t={\mathbf{1}}_{\{U=t\}}$，另令 $Y_t=0$。对任意有限组确定时刻，$U$ 命中其中某个时刻的概率为零，所以两过程的有限维分布完全相同；但每条 $X$ 路径都在随机时刻 $U$ 出现尖点，$Y$ 的路径则恒为零且连续。因此“每个固定时刻几乎必然相等”不能交换成“几乎必然在所有时刻同时相等”。

过程不能与单条已观测路径等同：一条路径无法单独给出联合分布。它也不必以自然数为时间，例如温度场可由空间位置索引，Brownian 运动用连续时间。即使每个 $X_t$ 都具有相同边缘分布，过程也未必平稳；平稳性约束的是任意有限组坐标在时间平移后的联合分布。相同边缘分布更不意味着各时刻独立或满足 Markov 性。

为过程配上一族递增信息集，就得到滤过与适应过程理路滤过与适应过程Filtration · Adapted process · Natural filtration以递增 σ-代数表示信息积累，并刻画过程在每一时刻不使用未来信息。；再要求下一步条件均值等于当前值，便进入鞅理路鞅Martingale · Submartingale · Supermartingale在当前全部信息下，下一步条件均值等于当前值的可积适应过程。理论。Markov 链理路Markov 链Markov chain未来条件分布在给定当前状态后与更早历史无关的随机过程。则用当前状态屏蔽更早历史，平稳分布理路平稳分布Stationary distribution经马尔可夫转移后保持不变的状态分布。描述某些过程随时间演化时保持不变的边缘律。时间序列、排队系统、随机游走、金融价格模型与随机算法运行轨迹虽然语境不同，都先共享“一个随机实验产生一整族相关坐标”的对象结构，随后才按需要加入各自的依赖或正则性假设。

只记录累计到达次数时，更新过程理路更新过程Renewal process用独立同分布的正间隔构造到达时刻，再由到达时刻反演更新次数。用独立周期把到达时刻与计数路径相互转换。若还记录顾客进入、离开系统的时刻，Little 定律理路Little 定律Little law从同一批顾客的占用面积推出平均人数等于有效到达率乘平均逗留时间，并明确系统边界。则将人数路径下的面积解释为同一批顾客的总逗留时间；这项面积关系本身不需要 Markov 性。

Galton–Watson分枝过程理路Galton–Watson 分枝过程Galton–Watson process · Galton-Watson branching process · 单类型分枝过程用独立同分布繁殖定义代际家系，从生成函数复合求灭绝的最小不动点，并区分均值增长、个体独立性和真实存活。改为记录每一代的家系人数，其独立性条件施加在各个体的繁殖数上。若同代个体共用一个随机繁殖开关，人数均值可以保持相同，整个灭绝事件的概率却会改变；该页给出两种过程的精确比较。