随机过程

形式陈述 ​

给定概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\text{Pr})$、指标集 $T$ 和标准 Borel 状态空间 $(S,\mathcal{S})$，随机过程是一个随机变量公理库随机变量Random variable · Random element从概率空间到可测空间的可测映射；实值情形是狭义随机变量。族

$$(X_t{)}_{t\in T},X_t:\mathrm{\Omega }\to S.$$

固定 $\omega \in \mathrm{\Omega }$ 后，映射 $t\mapsto X_t(\omega )$ 称为一条样本路径；固定 $t$ 后，$X_t$ 是某一时刻的随机变量。对任意 $t_1,\dots ,t_n\in T$，随机向量 $(X_{t_1},\dots ,X_{t_n})$ 的分布称为过程的有限维分布。$T={\mathbb{N}}_0$ 给出离散时间，$T=[0,\mathrm{\infty })$ 常用于连续时间；状态空间也可离散或连续，这两个分类彼此独立。

在上述标准 Borel 条件下，所有有限维分布若相容，可由 Kolmogorov 扩张定理在乘积空间上构造过程的一个版本。更一般的状态空间需要额外可测结构，不能无条件套用该结论。反过来，有限维分布决定过程在柱事件上的概率律，但连续路径、右连续性等样本路径正则性需要额外定理与所选路径空间，不能仅从一句“有限维分布相同”无条件读出。

直觉 ​

一次随机变量实验输出一个值；随机过程的一次实验输出整条轨迹。不同时间坐标不是反复进行互不相关的实验，而是同一个 $\omega$ 在所有索引上的共同表现。研究过程时可以切换两个视角：横向固定时间，比较随机变量的分布；纵向固定样本点，观察一条路径怎样演化。独立、平稳、Markov、鞅和路径连续性都是施加在这族坐标或其信息结构上的额外条件，“随机过程”这个对象层本身并不预装任何一种。

例子与边界 ​

独立抛硬币得到 ${\xi }_n\in \{-1,1\}$，累计和

$$S_n=\sum _{k=1}^n{\xi }_k,S_0=0,$$

构成离散时间、离散状态的简单随机游走。一次观测得到的是 $0,1,0,-1,\dots$ 这样的一条路径，而 $S_4$ 只是路径在第四步的一个截面。若令 $X_t(\omega )=t^2$ 与 $\omega$ 无关，也仍是随机过程，只是所有样本路径完全相同，说明“过程”允许退化的确定性情形。

过程不能与单条已观测路径等同：一条路径无法单独给出联合分布。它也不必以自然数为时间，例如温度场可由空间位置索引，Brownian 运动用连续时间。即使每个 $X_t$ 都具有相同边缘分布，过程也未必平稳；平稳性约束的是任意有限组坐标在时间平移后的联合分布。相同边缘分布更不意味着各时刻独立或满足 Markov 性。

推论与应用 ​

为过程配上一族递增信息集，就得到滤过与适应过程公理库滤过与适应过程Filtration · Adapted process · Natural filtration以递增 σ-代数表示信息积累，并刻画过程在每一时刻不使用未来信息。；再要求下一步条件均值等于当前值，便进入鞅公理库鞅Martingale · Submartingale · Supermartingale在当前全部信息下，下一步条件均值等于当前值的可积适应过程。理论。Markov 链公理库Markov 链Markov chain未来条件分布在给定当前状态后与更早历史无关的随机过程。则用当前状态屏蔽更早历史，平稳分布公理库平稳分布Stationary distribution经马尔可夫转移后保持不变的状态分布。描述某些过程随时间演化时保持不变的边缘律。时间序列、排队系统、随机游走、金融价格模型与随机算法运行轨迹虽然语境不同，都先共享“一个随机实验产生一整族相关坐标”的对象结构，随后才按需要加入各自的依赖或正则性假设。

参考资料

• Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, 3rd ed., Springer, 2021，Chs. 4 and 8, processes and finite-dimensional distributions。
• Robert G. Gallager, MIT 6.262, Discrete Stochastic Processes, Ch. 1, stochastic processes and sample paths。