滤过与适应过程

形式陈述 ​

在概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\text{Pr})$ 上，离散时间滤过是一列子 $\sigma$-代数公理库σ-代数Sigma-algebra · Sigma-field对补集和可数并封闭的子集族。

$${\mathcal{F}}_0\subseteq {\mathcal{F}}_1\subseteq {\mathcal{F}}_2\subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F}.$$

${\mathcal{F}}_n$ 表示时刻 $n$ 已可辨认的事件。随机过程 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ 若对每个 $n$ 都有 $X_n$ 为 ${\mathcal{F}}_n$-可测，就称它适应于滤过 $({\mathcal{F}}_n)$。过程自身生成的自然滤过是

$${\mathcal{F}}_n^X=\sigma (X_0,\dots ,X_n),$$

它是使 $X$ 适应的最小滤过。连续时间情形同样要求 $s\le t$ 时 ${\mathcal{F}}_s\subseteq {\mathcal{F}}_t$，但完备化、右连续等“通常条件”需要在使用连续时间定理时另行声明。

离散时间中，一个过程 $(H_n{)}_{n\ge 1}$ 若 $H_n$ 对 ${\mathcal{F}}_{n-1}$ 可测，常称为可预测。可预测比适应更强：$H_n$ 在第 $n$ 步随机结果揭晓前已经确定；不能只因二者都“不看未来”就混为同一概念。

直觉 ​

滤过不是一串概率分布，而是一条信息时间线。随着时间推进，旧信息不会被遗忘，所以 $\sigma$-代数只能扩大。适应性则规定过程在时刻 $n$ 的取值能由当时信息确定：允许依赖全部过去和现在，但不能偷看未来。自然滤过只记录过程本身已经显露的历史；若观察者还看到外部信号，可以使用更大的滤过，同一过程是否具有鞅等性质也可能随信息集改变。

例子与边界 ​

令 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ 为逐次抛公平硬币得到的 $\pm 1$ 结果，$S_n=\sum _{k=1}^n{\xi }_k$，并取

$${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n).$$

那么 $S_n$ 由前 $n$ 次结果决定，故 $(S_n)$ 适应；下一次结果 ${\xi }_{n+1}$ 一般不对 ${\mathcal{F}}_n$ 可测，因为时刻 $n$ 的信息无法判断它。若下注额 $H_n$ 只能由前 $n-1$ 次输赢决定，则 $H_n$ 可预测，下注收益 $H_n{\xi }_n$ 要到第 $n$ 次结果出现后才变得可测。

适应性不意味着独立：累计和 $S_n$ 与过去高度相关；也不意味着 Markov，因为当前值可能没有概括预测未来所需的全部历史。反过来，扩大滤过虽然不会破坏“可测”这一适应性，却可能破坏鞅性质：若 ${\mathcal{F}}_0$ 已提前包含 ${\xi }_1$，那么 $\mathbb{E}({\xi }_1\mid {\mathcal{F}}_0)={\xi }_1$，不再是零。信息结构因此不是装饰性下标，而是条件陈述的一部分。

推论与应用 ​

滤过使条件期望公理库条件期望Conditional expectation相对于子 σ-代数可测并保持其事件上积分的随机变量。可以随时间更新：$\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_n]$ 是用时刻 $n$ 信息对 $X$ 作出的平均预测。适应且可积的过程若还满足公平的条件均值关系，就成为鞅公理库鞅Martingale · Submartingale · Supermartingale在当前全部信息下，下一步条件均值等于当前值的可积适应过程。。事件“是否已经发生”若在每一时刻都能由 ${\mathcal{F}}_n$ 判断，则其首次发生时刻形成停时。随机积分中，可预测性保证第 $n$ 步下注额在新噪声到来前已选定，从而禁止以未来结果套利；这比仅要求积分过程适应更准确。

参考资料

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991，Chs. 9–10, filtrations, conditional expectation and martingales。
• MIT 6.436J / 15.085J, Fundamentals of Probability, “Martingales I,” filtrations and adapted processes lecture notes。