滤过与适应过程

滤过不是一串概率分布，而是一条信息时间线。随着时间推进，旧信息不会被遗忘，所以 $\sigma$-代数只能扩大。适应性则规定过程在时刻 $n$ 的取值能由当时信息确定：允许依赖全部过去和现在，但不能偷看未来。自然滤过只记录过程本身已经显露的历史；若观察者还看到外部信号，可以使用更大的滤过，同一过程是否具有鞅等性质也可能随信息集改变。

令 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ 为逐次抛公平硬币得到的 $\pm 1$ 结果，$S_n=\sum _{k=1}^n{\xi }_k$，并取

那么 $S_n$ 由前 $n$ 次结果决定，故 $(S_n)$ 适应；下一次结果 ${\xi }_{n+1}$ 一般不对 ${\mathcal{F}}_n$ 可测，因为时刻 $n$ 的信息无法判断它。若下注额 $H_n$ 只能由前 $n-1$ 次输赢决定，则 $H_n$ 可预测，下注收益 $H_n{\xi }_n$ 要到第 $n$ 次结果出现后才变得可测。

适应性不意味着独立：累计和 $S_n$ 与过去高度相关；也不意味着 Markov，因为当前值可能没有概括预测未来所需的全部历史。反过来，扩大滤过虽然不会破坏“可测”这一适应性，却可能破坏鞅性质：若 ${\mathcal{F}}_0$ 已提前包含 ${\xi }_1$，那么 $\mathbb{E}({\xi }_1\mid {\mathcal{F}}_0)={\xi }_1$，不再是零。信息结构因此不是装饰性下标，而是条件陈述的一部分。

滤过使条件期望公理库条件期望Conditional expectation给定子 σ-代数后可测、并在所有已知事件上保持原积分的随机变量。可以随时间更新：$\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_n]$ 是用时刻 $n$ 信息对 $X$ 作出的平均预测。适应且可积的过程若还满足公平的条件均值关系，就成为鞅公理库鞅Martingale · Submartingale · Supermartingale在当前全部信息下，下一步条件均值等于当前值的可积适应过程。。事件“是否已经发生”若在每一时刻都能由 ${\mathcal{F}}_n$ 判断，则其首次发生时刻形成停时。随机积分中，可预测性保证第 $n$ 步下注额在新噪声到来前已选定，从而禁止以未来结果套利；这比仅要求积分过程适应更准确。