鞅表示定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

固定 $0<T<\infty$ 。设 $W$ 是 $d$ 维 Brownian 运动，并令

\mathcal F_t=\sigma(W_s:0\le s\le t)\vee\mathcal N

取右连续增广，其中 $\mathcal N$ 是 $P$ -零集族。对任意 $\xi\in L^2(\Omega,\mathcal F_T,P)$ ，存在可预测过程 $H:\Omega\times[0,T]\to\mathbb R^d$ ，满足

E\int_0^T\|H_s\|^2ds<\infty,

并且

\xi=E[\xi]+\int_0^T H_s^\top dW_s\qquad P\text{-a.s.}

这里的表示使用可预测平方可积被积过程的Itô 积分。相应的平方可积连续时间鞅 $M_t=E[\xi\mid\mathcal F_t]$ 具有过程表示

M_t=M_0+\int_0^tH_s^\top dW_s,\qquad 0\le t\le T,

等式到不可分辨。 $H$ 在 $P\otimes dt$ 几乎处处意义下唯一：若 $H,K$ 给同一终点积分，Itô 等距给 $E\int_0^T\|H-K\|^2dt=0$ 。

定理也有局部版本：Brownian 滤过中的每个局部鞅都连续，并可写成 $M=M_0+\int H\,dW$ ，其中 $\int_0^t\|H_s\|^2ds<\infty$ 对每个有限 $t$ 几乎处处成立。 $L^1$ 或一致可积鞅可先停止、截断终端变量再取极限，但所得被积过程未必全局属于 $L^2$ 。

滤过假设是结论的一部分。“ $W$ 相对于某滤过仍是 Brownian 运动”不意味着该滤过具有 Brownian 可预测表示性质。若 $\mathcal F_0$ 含额外信息，表示可允许随机 $M_0$ ；若额外噪声在正时间逐步揭示，还需新增积分器，单靠 $W$ 通常不能表示全部鞅。

直觉

Brownian 自然滤过中所有新信息都由无穷小增量 $dW_t$ 带来。一个公平过程若随这套信息更新，其每一小段创新只能是当时已知系数乘新 Brownian 噪声；把这些创新累积，就得到随机积分。定理把这种信息直觉升级为完备性结论：不存在与全部 Brownian 积分正交、却仍由 Brownian 历史生成的非零平方可积创新。

证明可从 Fourier 指数变量开始。对实向量值确定性阶梯函数 $h$ ，令

Z_t=\exp\!\left(i\int_0^t h_s^\top dW_s+\frac12\int_0^t\|h_s\|^2ds\right).

把实部与虚部分开应用Itô 公式，得到 $dZ_t=iZ_t h_t^\top dW_t$ 。有限时域上 $|Z_t|$ 有确定上界，所以这些终端指数变量减去均值后都属于随机积分的像。

这些变量的线性张成在 $L^2(\mathcal F_T)$ 中稠密。先看一个 Gaussian 坐标：若实 $L^2$ 函数与所有 Fourier 指数正交，其乘 Gaussian 律所得有限符号测度的 Fourier 变换为零；分解正负部分并归一化，特征函数唯一性说明该符号测度为零。对有限个独立 Gaussian 增量，用Fubini 定理逐坐标重复此论证，得到每个有限时间网格上的稠密性。再取包含 $T$ 的嵌套二进网格：连续 Brownian 路径使这些网格生成 $\mathcal F_T$ ，条件期望鞅的收敛定理说明与所有网格变量正交的 $\mathcal F_T$ -可测变量只能为零。最后，Itô 等距把可预测 $L^2$ 的完备性转成积分像的闭性；稠密加闭合便覆盖全部零均值终端变量。

例子与边界

取 $\xi=W_T^2$ 。已知 $E\xi=T$ ，而Itô 公式给

W_t^2-t=2\int_0^tW_s\,dW_s.

因此

E[W_T^2\mid\mathcal F_t] =W_t^2+(T-t) =T+\int_0^t2W_s\,dW_s,

表示核为 $H_s=2W_s$ 。可积性可复算：

E\int_0^T4W_s^2ds=4\int_0^Ts\,ds=2T^2<\infty.

终端变量不是线性的高斯量，仍能由随机系数积分表示；随机性从 integrator 与 integrand 的反馈共同产生。

结论在扩张滤过中会失败。令 $N$ 是与 $W$ 独立的强度 $\lambda>0$ 的 Poisson 过程，并取联合自然滤过。补偿过程 $J_t=N_t-\lambda t$ 是平方可积鞅且有跳跃。任何 $\int_0^tH_s\,dW_s$ 都有连续版本，所以不可能等于 $J$ 。正确的表示需同时加入对补偿 Poisson 随机测度的积分。即使只在确定终点突然揭示一个独立、非退化且平方可积的均值零变量，也会产生终点跳跃鞅，说明失败来自新信息源而非 Poisson 的特例数字。

推论与应用

表示把抽象鞅问题转成被积过程问题。由等距，

\operatorname{Var}(\xi)=E\int_0^T\|H_s\|^2ds,

所以终端不确定性被分解为各时刻、各 Brownian 坐标贡献的能量。在随机分析中，这给 BSDE 的控制分量 $Z$ 、Malliavin 导数的 Clark–Ocone 表示及鞅估计提供基础接口。

金融模型若资产噪声张成 Brownian 滤过，任意平方可积或适当可积的终端索赔鞅都可表示为这些噪声的积分；再解线性方程把 $H$ 转成持仓，得到市场完备性。若滤过含额外跳跃或不可交易噪声，表示出现正交剩余项，精确对应无法完全对冲的风险。结论因此既是分析定理，也是“信息源是否被积分器穷尽”的诊断。

参考资料

Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 3, §3.4, martingale representation theorem。
Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, 1999, Ch. V, §3, representation of Brownian martingales。
L. C. G. Rogers and David Williams, Diffusions, Markov Processes and Martingales, Vol. 2, 2nd ed., Cambridge University Press, 2000, Ch. IV, §36, Brownian stochastic integrals and representation。

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