Itô 等距 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_t),P)$ 满足通常条件， $W$ 是一维 Brownian 运动， $T<\infty$ 。若 $H,K$ 可预测且

E\int_0^T(H_t^2+K_t^2)dt<\infty,

则 Itô 积分满足

E\left[\left(\int_0^T H_t\,dW_t\right) \left(\int_0^T K_t\,dW_t\right)\right] =E\int_0^T H_tK_t\,dt.

取 $K=H$ 得到等距公式

E\left|\int_0^T H_t\,dW_t\right|^2 =E\int_0^T|H_t|^2dt.

积分均值为零，所以左侧也是方差。等式在乘积测度 $P\otimes dt$ 几乎处处的等价类上成立；两个被积过程若仅在该测度零集上不同，其积分不可分辨。积分映射因此是从预测 Hilbert 空间 $L^2_{\mathrm{pred}}(\Omega\times[0,T])$ 到 $L^2(\Omega,\mathcal F_T,P)$ 的线性等距，其像是闭子空间，并不靠等距本身等于整个 $L^2(\mathcal F_T)$ 。

对 $d$ 维 Brownian 运动和 $m\times d$ 矩阵被积过程 $H$ ，假设 $E\int_0^T\|H_t\|_{\mathrm{HS}}^2dt<\infty$ ，则

E\left\|\int_0^T H_t\,dW_t\right\|^2 =E\int_0^T\|H_t\|_{\mathrm{HS}}^2dt.

若只局部平方可积，等式只能先对能量停时后的积分使用；未证明全局二阶矩前，不应把两边写成有限数。

直觉

简单过程积分是许多“已知系数 × 新噪声增量”的和。交叉项在条件期望下消失：较晚增量给定过去均值为零，而它以前的全部系数与增量都已知。剩余对角项贡献 $H_k^2(t_{k+1}-t_k)$ 。所以随机输出的平方大小被精确压回时间—概率空间上的普通 $L^2$ 范数。

这个精确恒等式承担了构造中的唯一性工作。简单被积过程若在预测 $L^2$ 中逼近同一个 $H$ ，积分像也必在 $L^2(\Omega)$ 中逼近同一极限；无需逐路径决定 Brownian 的无限振荡怎样求和。等距控制终点，而 Doob 最大不等式再把它升级到整段路径的 ucp 或最大二阶矩控制。

例子与边界

对确定性 $H_t=t$ ，

E\left(\int_0^Tt\,dW_t\right)^2=\int_0^Tt^2dt=\frac{T^3}{3}.

确定性线性泛函作用于高斯过程仍为高斯，因此该积分实际服从 $N(0,T^3/3)$ 。这比仅知方差更强，但高斯性来自确定性被积过程；随机 $H$ 的积分一般不是无条件高斯。

再取 $H_t=W_t$ 。由 $\int_0^TW_t\,dW_t=\tfrac12(W_T^2-T)$ ，等距右侧为

E\int_0^TW_t^2dt=\int_0^Tt\,dt=\frac{T^2}{2}.

左侧可独立复算： $E[W_T^4]=3T^2$ ，故

\frac14E(W_T^2-T)^2 =\frac14(3T^2-2T^2+T^2)=\frac{T^2}{2}.

平方可积假设不能用“每条路径能积分”替代。令 $Y$ 为 $\mathcal F_0$ -可测、几乎处处有限但 $E[Y^2]=\infty$ ，并取 $H_t=Y$ 。每条路径上 $\int_0^TH_t^2dt=TY^2<\infty$ ，局部化后积分为 $YW_T$ ；若 $Y$ 与 $W$ 独立，则 $E[Y^2W_T^2]=T E[Y^2]=\infty$ ，全局 $L^2$ 等距只给扩展值，不能据此称其平方可积。若 $H_t=W_T$ ，问题更早出现：它不预测，交叉项消失的证明根本不成立。

推论与应用

若 $H^n\to H$ 于预测 $L^2$ ，等距立即给

\int_0^T H_t^n\,dW_t\to\int_0^T H_t\,dW_t \quad\text{于 }L^2(\Omega).

结合 Doob 不等式，还得到积分过程于 $L^2$ 最大范数收敛。这条连续性让简单过程定义无歧义，也让随机微分方程的 Picard 迭代可在二阶矩空间中闭合。

极化公式把范数恒等式变成协方差计算，进而说明不同 Brownian 坐标驱动的积分在正交条件下互不相关。鞅表示定理则补充像空间何时足够大：在增广 Brownian 滤过中，每个零均值 $L^2(\mathcal F_T)$ 随机变量都能表示为一个终点 Itô 积分；换用更大的滤过时，等距仍成立，满射性却可能失败。

参考资料

Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th ed., Springer, 2003, Ch. 3, §3.1, construction and isometry of the Itô integral。
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 3, §3.2, isometric construction of stochastic integration。
Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, 1999, Ch. IV, §2, stochastic integrals and brackets。

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