Itô 等距

简单过程积分是许多“已知系数 × 新噪声增量”的和。交叉项在条件期望下消失：较晚增量给定过去均值为零，而它以前的全部系数与增量都已知。剩余对角项贡献 $H_k^2(t_{k+1}-t_k)$。所以随机输出的平方大小被精确压回时间—概率空间上的普通 $L^2$ 范数。

这个精确恒等式承担了构造中的唯一性工作。简单被积过程若在预测 $L^2$ 中逼近同一个 $H$，积分像也必在 $L^2(\mathrm{\Omega })$ 中逼近同一极限；无需逐路径决定 Brownian 的无限振荡怎样求和。等距控制终点，而 Doob 最大不等式再把它升级到整段路径的 ucp 或最大二阶矩控制。

对确定性 $H_t=t$，

确定性阶梯积分是有限 Brownian 增量的线性组合，因而为 Gaussian。它们在 $L^2$ 中趋向积分，由高斯变量的均方极限封闭性理路高斯过程Gaussian process · Gaussian random process任意有限组坐标都服从联合高斯分布、因而由均值函数与半正定协方差核确定其有限维分布的随机过程。，该积分实际服从 $N(0,T^3/3)$。这比仅知方差更强，但高斯性来自确定性被积过程；随机 $H$ 的积分一般不是无条件高斯。

再取 $H_t=W_t$。由 ${\int }_0^T{W}_{t}d{W}_t=\frac{1}{2}(W_T^2-T)$，等距右侧为

左侧可独立复算：$E[W_T^4]=3T^2$，故

平方可积假设不能用“每条路径能积分”替代。令 $Y$ 为 ${\mathcal{F}}_0$-可测、几乎处处有限但 $E[Y^2]=\mathrm{\infty }$，并取 $H_t=Y$。每条路径上 ${\int }_0^T{H}_t^{2}dt=T{Y}^2<\mathrm{\infty }$，局部化后积分为 $Y{W}_T$；若 $Y$ 与 $W$ 独立，则 $E[Y^2{W}_T^2]=TE[Y^2]=\mathrm{\infty }$，全局 $L^2$ 等距只给扩展值，不能据此称其平方可积。若 $H_t=W_T$，问题更早出现：它不预测，交叉项消失的证明根本不成立。

若 $H^n\to H$ 于预测 $L^2$，等距立即给

对连续的积分差过程，先在有限网格使用Doob 的 $L^2$ 最大不等式理路Doob 最大不等式Doob maximal inequality · Doob Lp inequality用非负下鞅的终点尾部期望或鞅的终点 p 阶矩控制整个有限时间区间的最大值。，再取稠密网格极限，得到整个积分过程在 $L^2$ 最大范数中收敛。这条连续性让简单过程定义无歧义，也让随机微分方程的 Picard 迭代可在二阶矩空间中闭合。

极化公式把范数恒等式变成协方差计算，进而说明不同 Brownian 坐标驱动的积分在正交条件下互不相关。鞅表示定理则补充像空间何时足够大：在增广 Brownian 滤过中，每个零均值 $L^2({\mathcal{F}}_T)$ 随机变量都能表示为一个终点 Itô 积分；换用更大的滤过时，等距仍成立，满射性却可能失败。