形式陈述

事件 $A,B$$A,B$ 独立，若

$$ P(A\cap B)=P(A)P(B). $$$$P(A\cap B)=P(A)P(B).$$

事件族 $(A_i)_{i\in I}$$(A_i{)}_{i\in I}$ 相互独立，若对任意有限个互异指标 $i_1,\ldots,i_k$$i_1,\dots ,i_k$，

$$ P\!\left(\bigcap_{j=1}^k A_{i_j}\right) =\prod_{j=1}^kP(A_{i_j}). $$$$P\left(\bigcap _{j=1}^k{A}_{i_j}\right)=\prod _{j=1}^{k}P(A_{i_j}).$$

随机变量 $X,Y$$X,Y$ 独立，若它们生成的 $\sigma$$\sigma$-代数独立；等价地，对所有可测集合 $A,B$$A,B$，

$$ P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B). $$$$P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B).$$

直觉

独立性说知道一个对象的取值不会改变另一个对象事件的概率。它是联合分布分解性质，不是“没有因果关系”或样本数足够大后的近似描述。

例子与边界

两个独立公平硬币的正面事件独立。若 $P(B)>0$$P(B)>0$，$A,B$$A,B$ 独立等价于 $P(A\mid B)=P(A)$$P(A\mid B)=P(A)$；但乘积定义在 $P(B)=0$$P(B)=0$ 时仍有意义。两两独立不推出相互独立：两个独立公平比特 $X,Y$$X,Y$ 与 $Z=X\oplus Y$$Z=X\oplus Y$ 两两独立，却有确定关系 $X\oplus Y\oplus Z=0$$X\oplus Y\oplus Z=0$。

推论与应用

独立性使乘积测度、期望乘法与方差相加成立，是大数定律和中心极限定理的基本假设。实际建模中“独立同分布”是强结构假设，需与不相关、条件独立和交换性区分。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，§4。
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019，Chs. 3–4。