秘密共享

秘密共享不是把秘密简单切成片段，而是将它编码进带随机自由度的整体结构，形成多份通常含有随机掩码信息的 share。授权集合拥有足够多的片段，可以消除随机性并确定秘密；未授权集合的片段不足，联合分布与秘密无关，仍让所有秘密保持同等可能，或在计算安全版本中难以获知秘密。门限方案只按 share 数量决定授权，更一般访问结构则可表达组织角色。

在 $(2,3)$ Shamir 方案中，用随机直线 $f(x)=s+ax$ 生成三点；任意两点确定直线，一点对截距没有信息。域大小和参与者标识必须足以选取互异非零点。基本秘密共享只保证隐私与重构，不自动检测伪造份额、恶意 dealer 或参与者撒谎；这些需要可验证秘密共享等扩展。

Shamir $(t,n)$ 方案在有限域选随机次数 $t-1$ 多项式 $f$，令 $f(0)=s$，把 $f(i)$ 分给第 $i$ 人。任意 $t$ 点可 Lagrange 插值恢复 $s$；少于 $t$ 点时，任意秘密值都可由某些未定高次系数解释，因此完美隐藏。

share 的身份坐标不能重复或为零，域需足够大。秘密共享本身不保证参与者提交真实 share；主动对手场景需可验证秘密共享、错误纠正或认证。长期重复使用相同随机多项式也会泄露关系。

秘密共享用于门限密钥、分布式备份、安全多方计算和拜占庭协议。一般访问结构可由线性秘密共享等方法实现，份额大小和重构复杂度则随结构而变。

完美保密公理库完美保密Perfect secrecy · Information-theoretic security对每种消息先验，观察密文都不改变消息分布的无条件安全定义。描述未授权集合的无信息性，Reed–Solomon 码公理库Reed–Solomon 码Reed–Solomon code以低次数多项式在互异域元素处的取值向量形成的最大距离可分码。的多项式求值解释恢复与鲁棒性。若秘密或设备随机源只具有条件最小熵公理库最小熵Min-entropy · Rényi min-entropy由最可能结果的概率定义、直接刻画单次最优猜测成功率的信息量。，可在协议另行验证种子独立和旁信息条件后使用提取器公理库有种子随机性提取器Seeded randomness extractor · Seeded extractor用独立均匀短种子把任意高最小熵弱源映为统计上接近均匀的输出。做隐私放大；这不是基本秘密共享正确性或隐私定义的硬前置。安全多方计算公理库安全多方计算Secure multiparty computation · MPC多方在不泄露各自私有输入的情况下共同计算函数。常在 share 上直接做加法/乘法，门限密钥、备份和分布式签名也依赖该原语。