乘积测度

矩形 $A\times B$ 的大小应等于两个边长式测度的乘积，但一般集合不是可数个互不交矩形的简单并。乘积测度通过扩张把矩形规则唯一延伸到由矩形生成的 $\sigma$-代数。它保存“逐坐标测量”的结构，却不意味着任意联合分布都是独立乘积。

二维 Lebesgue 测度是两个一维 Lebesgue 测度的乘积。乘积 σ-代数并不是乘积集合的幂集；非 σ-有限情形需要额外谨慎。

在 $[0,1{]}^2$ 上，集合 $\{(x,y):0<y<x<1\}$ 的乘积 Lebesgue 测度为

对角线 $\{(x,x):x\in [0,1]\}$ 的二维测度为零，尽管其每个投影都是整个区间；低维投影很大不代表乘积体积很大。

测度公理库测度Measure在可测集合上取非负扩展实值、并对不交可数并保持可加性的函数。与 $\sigma$-代数经笛卡尔积形成联合空间，Tonelli 定理和Fubini 定理公理库Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。随后允许按坐标积分。独立随机变量公理库独立性Statistical independence若干事件、σ-代数或随机元素的所有有限联合概率都按边缘概率乘积分解。的联合分布公理库联合分布Joint distribution · 联合概率分布多个随机元素组成的向量所推出的概率测度，完整记录边缘与依赖结构。等于边缘分布的乘积测度；固定边缘后，其他联合分布构成不同的耦合公理库耦合法Coupling method · Probability coupling在共同概率空间中构造具有指定边缘的随机变量，并用它们相遇的概率比较分布。，不能因为底层空间是乘积就误判为独立。

iid 统计模型公理库统计模型与参数Statistical model · Statistical parameter对可观测数据候选分布族、参数化坐标与待推断分布泛函的统一刻画。的 $n$ 样本实验写为 $P_{\theta }^{\otimes n}$，联合似然公理库似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。因乘积结构分解为单观测密度乘积。相关、删失或自适应数据的联合律不是这一乘积；继续逐项相乘会同时误算有效样本量、score 信息和抽样分布。

固定某个单观测分布 $D$ 后，$m$ 个 IID 观测的联合分布写作 $D^m$，也就是有限次乘积测度；IID 样本公理库独立同分布样本IID sample · Independent and identically distributed sample以乘积分布描述来自同一总体的独立重复观测。页在此基础上组织 $S\sim D^m$ 与样本坐标；经验测度公理库经验测度Empirical measure · Empirical distribution把有限观测的重复频数编码为原子概率测度。则把一次观测结果转成经验平均，不重复乘积测度的扩张构造。