形式陈述

给定 σ-有限测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$、$(Y,\mathcal{B},\nu )$，存在乘积测度 $\mu \times \nu$ 于 $\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}$，满足

$$(\mu \times \nu )(A\times B)=\mu (A)\nu (B).$$

乘积 σ-代数由全部可测矩形生成；标准 σ-有限条件保证常用唯一性与积分定理。

直觉

独立坐标的体积应当相乘；扩张定理把这一矩形规则延伸到复杂可测集合。

例子与边界

二维 Lebesgue 测度是两个一维 Lebesgue 测度的乘积。乘积 σ-代数并不是乘积集合的幂集；非 σ-有限情形需要额外谨慎。

推论与应用

它是联合分布、独立性、Tonelli/Fubini 和多重积分的测度基础。

参考资料

• Sheldon Axler, Measure, Integration & Real Analysis (2020), product measures.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), product measures.