乘积测度

矩形 $A\times B$ 的大小应等于两个边长式测度的乘积，但一般集合不是可数个互不交矩形的简单并。乘积测度通过扩张把矩形规则唯一延伸到由矩形生成的 $\sigma$-代数。它保存“逐坐标测量”的结构，却不意味着任意联合分布都是独立乘积。

两个一维 Borel Lebesgue 测度的乘积给出平面上的 Borel Lebesgue 测度；若要得到定义在全部 Lebesgue 可测集上的二维测度，还须完备化。即使两个因子测度已完备，其乘积也未必完备。取不可 Lebesgue 测的 $N\subseteq [0,1]$，集合 $\{0\}\times N$ 位于二维零测集 $\{0\}\times [0,1]$ 中，却不在 $\mathcal{L}\otimes \mathcal{L}$ 内（$\mathcal{L}$ 表示一维 Lebesgue σ-代数），因为它在 $x=0$ 处的截面是不可测的 $N$。

乘积 σ-代数一般不等于乘积集合的幂集。离开 σ-有限性，不能照搬这里的唯一性和积分交换结论。

在 $[0,1{]}^2$ 上，令 $D=\{(x,y):0<y<x<1\}$。两边的 Lebesgue 测度都有限，且 $D$ 是 Borel 集；对非负可测指示函数 ${\mathbf{1}}_D$ 应用Tonelli 定理理路Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。，得到它的乘积测度为

对角线 $\{(x,x):x\in [0,1]\}$ 的二维测度为零，尽管其每个投影都是整个区间；低维投影很大不代表乘积体积很大。

测度理路测度Measure在可测集合上取非负扩展实值、并对不交可数并保持可加性的函数。与 $\sigma$-代数经笛卡尔积形成联合空间，Tonelli 定理和Fubini 定理理路Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。随后允许按坐标积分。独立随机变量理路独立性Statistical independence从概率表理解独立性，区分两两、相互和条件独立，并用可计算反例澄清零协方差与条件均值的限度。的联合分布理路联合分布Joint distribution · 联合概率分布多个随机元素组成的向量所推出的概率测度，完整记录边缘与依赖结构。等于边缘分布的乘积测度；固定边缘后，其他联合分布构成不同的耦合理路耦合法Coupling method · Probability coupling在共同概率空间中构造具有指定边缘的随机变量，并用它们相遇的概率比较分布。，不能因为底层空间是乘积就误判为独立。

iid 统计模型理路统计模型与参数Statistical model · Statistical parameter对可观测数据候选分布族、参数化坐标与待推断分布泛函的统一刻画。的 $n$ 样本实验写为 $P_{\theta }^{\otimes n}$，联合似然理路似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。因乘积结构分解为单观测密度乘积。相关或自适应数据通常需要条件分布分解，不能把边缘密度直接相乘。删失本身未必破坏样本之间的独立性：独立个体经过逐个观测变换后仍可独立，但每个个体的似然贡献必须按观测机制重新计算。

固定某个单观测分布 $D$ 后，$m$ 个 IID 观测的联合分布写作 $D^m$，也就是有限次乘积测度；IID 样本理路独立同分布样本IID sample · Independent and identically distributed sample以乘积分布描述来自同一总体的独立重复观测。页在此基础上组织 $S\sim D^m$ 与样本坐标；经验测度理路经验测度Empirical measure · Empirical distribution把有限观测的重复频数编码为原子概率测度。则把一次观测结果转成经验平均，不重复乘积测度的扩张构造。