耦合法 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\mu,\nu$ 是同一可测空间上的概率分布。若随机变量对 $(X,Y)$ 的联合分布满足

\mathcal L(X)=\mu,\qquad \mathcal L(Y)=\nu,

则称 $(X,Y)$ 是 $\mu$ 与 $\nu$ 的一个耦合。耦合只固定边缘，不固定二者依赖方式；独立耦合是可选构造之一，并非定义要求。

对任意耦合与可测事件 $A$ ，当 $X=Y$ 时指标 $\mathbf1_A(X)$ 与 $\mathbf1_A(Y)$ 相同，因此

|\mu(A)-\nu(A)| \le \mathbb P(X\ne Y).

对 $A$ 取上确界得到 coupling inequality

\|\mu-\nu\|_{\mathrm{TV}} \le\mathbb P(X\ne Y).

在标准情形中存在最大耦合，使等号成立。对 Markov 链，若在同一随机机制下构造 $(X_t,Y_t)$ ，每个边缘都按原转移核演化，并在首次相遇后始终保持相等，则称为 coalescent coupling。

直觉

直接比较两个分布时，需要同时控制所有事件；耦合把这项全局任务改写成一个具体随机实验：让两个样本尽量共享随机性，观察它们有多大概率取同一值。只要相等，它们对任何事件测试都会作出同样回答，所以不相等概率自动支配所有测试差异。

耦合法的创造性集中在依赖结构。边缘分布是必须守住的约束，而“共同抛哪枚硬币、遇到后如何同步”可以按证明目标设计。好的耦合让目标距离通过一个容易分析的命中时间表现出来。

例子与边界

对 Bernoulli $(p)$ 与 Bernoulli $(q)$ ，设 $U\sim\mathrm{Unif}[0,1]$ ，并令

X=\mathbf1\{U\le p\},\qquad Y=\mathbf1\{U\le q\}.

则 $\mathbb P(X\ne Y)=|p-q|$ ，恰好等于两分布的总变差距离，这是最大耦合。若改用独立随机数生成 $X,Y$ ，不相等概率通常更大，仍给上界却不再最紧。

对 Markov 链，不能只证明两条路径某时刻碰到就声称此后相同；还必须让相遇后的转移共享随机性，保证 coalescence。耦合也不会改变边缘：为了让路径更快相遇而偷偷修改某一条链的转移概率，得到的就不是原链的耦合。最后，耦合不等于独立性，很多有效构造恰恰使用强相关。

推论与应用

若从任意初态 $x,y$ 构造可合并耦合，并令 $T=\inf\{t:X_t=Y_t\}$ ，则

\|P^t(x,\cdot)-P^t(y,\cdot)\|_{\mathrm{TV}} \le\mathbb P(T>t).

再选一条从平稳分布启动的链，便可给出混合时间上界。单调耦合、反射耦合和路径耦合分别利用次序、几何和局部距离，核心始终是保留边缘并控制相遇。

耦合还用于证明分布收敛、比较随机图模型和构造概率距离。它是一种证明方法，不是对原模型添加真实交互；两个边缘是否在现实中共同生成，与是否能在证明中耦合是两件事。

参考资料

David A. Levin, Yuval Peres, and Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd ed., American Mathematical Society, 2017，Ch. 5, coupling。
Torgny Lindvall, Lectures on the Coupling Method, Dover Publications, 2002，Chs. I–II, coupling and total variation。