耦合法

形式陈述 ​

设 $\mu ,\nu$ 是同一可测空间上的概率分布。若随机变量对 $(X,Y)$ 的联合分布公理库联合分布Joint distribution · 联合概率分布多个随机量的共同推出测度，记录边缘分布之外的同时出现与依赖信息。满足

$$\mathcal{L}(X)=\mu ,\mathcal{L}(Y)=\nu ,$$

则称 $(X,Y)$ 是 $\mu$ 与 $\nu$ 的一个耦合。耦合只固定边缘，不固定二者依赖方式；独立耦合是可选构造之一，并非定义要求。

对任意耦合与可测事件 $A$，当 $X=Y$ 时指标 ${\mathbf{1}}_A(X)$ 与 ${\mathbf{1}}_A(Y)$ 相同，因此

$$|\mu (A)-\nu (A)|\le \mathbb{P}(X\ne Y).$$

对 $A$ 取上确界得到 coupling inequality

$$\Vert \mu -\nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}\le \mathbb{P}(X\ne Y).$$

在标准情形中存在最大耦合，使等号成立。对 Markov 链，若在同一随机机制下构造 $(X_t,Y_t)$，每个边缘都按原转移核演化，并在首次相遇后始终保持相等，则称为 coalescent coupling。

直觉 ​

直接比较两个分布时，需要同时控制所有事件；耦合把这项全局任务改写成一个具体随机实验：让两个样本尽量共享随机性，观察它们有多大概率取同一值。只要相等，它们对任何事件测试都会作出同样回答，所以不相等概率自动支配所有测试差异。

耦合法的创造性集中在依赖结构。边缘分布是必须守住的约束，而“共同抛哪枚硬币、遇到后如何同步”可以按证明目标设计。好的耦合让目标距离通过一个容易分析的命中时间表现出来。

例子与边界 ​

对 Bernoulli$(p)$ 与 Bernoulli$(q)$，设 $U\sim \mathrm{Unif}[0,1]$，并令

$$X=\mathbf{1}\{U\le p\},Y=\mathbf{1}\{U\le q\}.$$

则 $\mathbb{P}(X\ne Y)=|p-q|$，恰好等于两分布的总变差距离，这是最大耦合。若改用独立随机数生成 $X,Y$，不相等概率通常更大，仍给上界却不再最紧。

对 Markov 链，不能只证明两条路径某时刻碰到就声称此后相同；还必须让相遇后的转移共享随机性，保证 coalescence。耦合也不会改变边缘：为了让路径更快相遇而偷偷修改某一条链的转移概率，得到的就不是原链的耦合。最后，耦合不等于独立性，很多有效构造恰恰使用强相关。

推论与应用 ​

若从任意初态 $x,y$ 构造可合并耦合，并令 $T=inf\{t:X_t=Y_t\}$，则

$$\Vert P^t(x,\cdot )-P^t(y,\cdot ){\Vert }_{\mathrm{TV}}\le \mathbb{P}(T>t).$$

再选一条从平稳分布启动的链，便可给出混合时间公理库混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。上界。单调耦合、反射耦合和路径耦合分别利用次序、几何和局部距离，核心始终是保留边缘并控制相遇。

耦合还用于证明分布收敛、比较随机图模型和构造概率距离。它是一种证明方法，不是对原模型添加真实交互；两个边缘是否在现实中共同生成，与是否能在证明中耦合是两件事。

参考资料

• David A. Levin, Yuval Peres, and Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd ed., American Mathematical Society, 2017，Ch. 5, coupling。
• Torgny Lindvall, Lectures on the Coupling Method, Dover Publications, 2002，Chs. I–II, coupling and total variation。