形式陈述

集合 $P$$P$ 上的关系 $\preceq$$⪯$ 是偏序，当且仅当满足自反性、反对称性和传递性：

$$ x\preceq x,\quad x\preceq y\land y\preceq x\Rightarrow x=y,\quad x\preceq y\land y\preceq z\Rightarrow x\preceq z. $$$$x⪯x,x⪯y\wedge y⪯x\Rightarrow x=y,x⪯y\wedge y⪯z\Rightarrow x⪯z.$$

二元组 $(P,\preceq)$$(P,⪯)$ 称偏序集。

直觉

偏序表达先后、包含或信息量，但不强迫任意两个对象可比较。反对称性不是“非对称”，它允许 $x\preceq x$$x⪯x$。

例子与边界

$\mathcal P(S)$$\mathcal{P}(S)$ 上的 $\subseteq$$\subseteq$、正整数上的整除都是偏序。字符串前缀关系也是偏序。实数上的 $<$$<$ 不自反，属于严格序；“认识”关系通常不反对称也不传递。

推论与应用

偏序用于依赖调度、事件因果、格论和不动点语义。Hasse 图省略自环与传递边，展示有限偏序的覆盖关系。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §14。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Relations chapter。