星差异与低差异序列

每个锚定盒提出一个简单问题：前 $N$ 个点落进来的比例，是否接近盒子占单位立方的体积？星差异把所有这类问题中最坏的一个留下。点云即使肉眼看起来分散，只要在某个角落系统性缺点，就会被相应的锚定盒检出。

只测试锚定盒仍足以控制一般轴对齐盒，因为与本页约定一致的半开盒 $[a,b)$ 满足 ${\mathbf{1}}_{[a,b)}(x)=\prod _{j=1}^d({\mathbf{1}}_{[0,b_j)}(x_j)-{\mathbf{1}}_{[0,a_j)}(x_j))$，展开后至多有 $2^d$ 个锚定盒指标。把盒写成 $(a,b]$ 会在边界点处改变这个恒等式。不过常数随维数增长，这已经提示“在低维很均匀”不能无代价地外推到高维。

一维时，把点排序为 $0\le x_{(1)}\le \cdots \le x_{(N)}<1$。星差异可精确写成

取中点集 $x_i=(i-1/2)/N$。在相邻两点之间，经验分布函数保持常数，而均匀分布函数线性增长；最大偏差恰为

这给出一个具体正例：每个点居于等长小区间中心，最坏累计偏差只有半个区间的质量。

相比之下，若 $N$ 个点全部等于 $1/2$，对 $t$ 从 $1/2$ 左侧逼近时经验比例为零而体积趋近 $1/2$；越过 $1/2$ 后经验比例跳到一，因此 $D_N^{\ast }=1/2$。点的重数会真实影响经验分布，不能把重复点自动去重。

二维中，规则 $m\times m$ 网格的 $N=m^2$ 个单元中心具有量级 $N^{-1/2}$ 的边界误差，因为盒的上边和右边最多切过 $O(m)$ 个网格单元。取 $t=(1/(2m),1)$ 时，盒内没有点而体积为 $1/(2m)$，也给出同阶下界。低差异构造试图把这种维数造成的网格损失改进为接近 $N^{-1}$ 的对数修正。

边界与失败情形 ​

星差异不是随机误差方差。对独立均匀样本，$A_N([0,t))/N$ 是随机变量，固定盒上的方差为 $v(1-v)/N$；$D_N^{\ast }$ 则是同时对所有盒取上确界理路上确界与下确界Supremum and infimum在偏序中分别作为集合最小上界与最大下界的最紧边界元素。后的随机量。确定性低差异点列甚至没有抽样方差，除非另外引入随机平移或 scrambling。

它也不是所有函数积分误差的精确值。Koksma–Hlawka 不等式在 $f:[0,1{]}^d\to \mathbb{R}$ 具有有限、锚定于 $\mathbf{1}=(1,\dots ,1)$ 的 Hardy–Krause 变差时给出

若 $V_{HK}(f)=\mathrm{\infty }$，这个界不再提供有限误差控制；小星差异不会单独保证每个不连续或高度振荡被积函数都有小误差。

边界约定必须一致。使用 $[0,1{)}^d$ 与半开盒避免点恰落在分割面时重复计数；改成闭盒会改变固定盒的计数及上确界是否取得。在当前点均属于 $[0,1{)}^d$ 的有限点列约定下，两类盒给出的差异上确界数值仍相同，可由各坐标单侧逼近得到。例如一维唯一采样点为 $0$ 时，半开盒的偏差只在 $t\downarrow 0$ 时逼近 $1$，闭盒则在 $t=0$ 已取得 $1$。星差异还依赖坐标轴，旋转点集后可能改变，故它不等同于旋转不变的几何均匀性。

Weyl 判别法把 $D_N^{\ast }\to 0$ 与点列对闭立方 $[0,1{]}^d$ 上连续函数的经验平均收敛到均匀积分联系起来。星差异给出一个有限样本、可量化的版本：它直接控制盒指标，并在附加变差条件下控制更广的被积函数。

Halton、Sobol 与数字网格等构造利用不同进制的分层结构，力求让每个尺度的盒都获得接近应有数量的点。拟 Monte Carlo 积分使用这些点列代替独立样本；实际优势取决于维数、坐标权重、被积函数正则性和随机化方式，不能只凭“低差异”标签保证。

从确定性覆盖进入可估计的随机误差，需要另设随机实验。随机化拟Monte Carlo理路随机化拟 Monte CarloRandomized quasi-Monte Carlo · RQMC · 随机化准蒙特卡罗 · 跨随机化误差估计随机化整套低差异点，保留均匀边缘并用独立整网重复估计方差；通过平移混叠与一维scramble计算说明收益的条件。保留本页的覆盖对象，同时要求各点均匀边缘，并把独立整网随机化作为重复单位。该页算出一维等距网平移的线性积分方差为 $1/(12n^2)$，也构造在给定网格上方差反而为IID的 $n$ 倍的同频光滑函数。它们说明星差异、函数条件和跨随机化误差条各有职责，不能从“点列均匀”单独推出通用方差改善。