形式陈述

集合 $X$ 中的序列是函数 $a:\mathbb{N}\to X$，通常把 $a(n)$ 写作 $a_n$，并记为 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$。索引从 $0$ 或 $1$ 开始只是约定。有限序列则是从有限初始自然数段到 $X$ 的函数；子序列形如 $(a_{n_k})$，其中 $n_1<n_2<\cdots$。

直觉

序列是带位置和重复次数的数据流，而不是单纯的元素集合。索引说明“第几项”，因此交换两项或删除重复项通常会改变序列。

例子与边界

$a_n=(-1{)}^n$ 在 $1$ 与 $-1$ 间交替；Fibonacci 序列可由递推式和初值唯一确定。序列 $(1,-1,1,-1,\dots )$ 的值域只有 $\{-1,1\}$，但值域集合丢失了交替顺序与出现次数。

推论与应用

序列是离散时间过程、迭代算法和无穷逼近的基本模型。给序列加入收敛、Cauchy、单调或可求和条件，便得到实分析和概率极限定理中的主要对象。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015, Chapter 2.
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976, Chapter 3.