序列

把自然数作为定义域意味着序列自带离散次序，并允许同一值在不同位置重复出现。它既可显式给出第 $n$ 项，也可由递推、算法或抽样过程生成。作为函数，子序列就是与严格递增索引函数复合；索引只能向前走，因此任意重排不是子序列。

$a_n=(-1{)}^n$ 在 $1$ 与 $-1$ 间交替；它的值域只有 $\{-1,1\}$，但值域集合丢失了交替顺序与出现次数。有限序列 $(3,1,3)$ 也不同于集合 $\{1,3\}$：前者有三个位置，两个位置上的值恰好相同；后者既不保存顺序，也不保存重复次数。

对交替序列取偶数索引得到常值子序列 $1,1,\dots$，取奇数索引得到 $-1,-1,\dots$；把奇数项移到偶数项之前则是一种重排，不是子序列。Fibonacci 数列展示另一种生成方式：初值与递推式唯一确定每个位置的值，却没有把序列变成无序集合。

自然数公理库自然数模型Natural numbers · Peano system由零元、后继和二阶归纳原则范畴性刻画的离散数系模型。索引和函数公理库函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。观点使前缀、尾部、子序列、递推和逐项运算共享同一接口。自然数按通常次序是有向集，因此序列也是网公理库网Net · Moore–Smith net · 拓扑网以有向集为索引的点族，用共同后继表达一般拓扑中的逼近。的可数全序特例。给取值空间加入拓扑后，序列收敛公理库序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。询问尾部是否最终进入任意邻域；把数列换成部分和得到级数公理库级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。。这些性质依赖 $X$ 上新增的代数或拓扑结构，不能从“它是序列”本身推出。

算法迭代与时间步进产生的状态也可以按自然数编号，但数据形式不规定信息协议。流模型限制更新序列的遍数与工作空间，在线模型要求请求到达后立即决策，自调整结构则对一整段访问序列给摊还界；它们都使用序列，却对未来可见性、可修改历史和成本统计作出不同承诺。

同样，低差异序列公理库星差异与低差异序列Star discrepancy · Low-discrepancy sequence用锚定于原点的轴对齐盒测量有限点集经验分布偏离单位立方均匀分布的最坏程度。约束每个前缀的经验分布，而不是单独约束每一项。它仍是普通序列；“低差异”是额外的全前缀速率条件，不能由项互异或普通收敛自动得到。