序列

序列不是“某些值组成的集合”，而是一份有地址的记录。地址使我们能说第几次观察、先后顺序以及从某一步以后发生了什么。给定 $a_n=(-1{)}^n$，取值集合只有两个元素，序列却有无限多个位置；值的种数与记录长度没有直接关系。

明确的规则可以一次性指定无限多项，并不要求先把它们写完。例如 $a_n=1/(n+1)$ 为任意合法索引都给出值。反过来，只列出几个初项通常不能唯一确定后续：$1,2,4,\dots$ 可以遵循倍增，也可以由另一个规则在第四项开始改变。省略号只有在生成规律已说明时才承担精确含义。

递推从另一种角度定义序列：先给初始状态，再规定下一步。例如 Fibonacci 序列由 $F_0=0,F_1=1$ 和

唯一确定。把状态写成 $(F_n,F_{n+1})$，一步规则就是 $(u,v)\mapsto (v,u+v)$。从 $(0,1)$ 出发，依次得到 $(1,1)$、$(1,2)$、$(2,3)$、$(3,5)$：每次保留上一对的后一项，再算出一个新和。读出每个状态的第一个分量，就得到 $0,1,1,2,3,\dots$。双项递推因此可以改写成对“数对状态”的一步递归。

这也区分了定义和计算方式。数学对象给每个索引指定唯一的值；直接计算较后面的项可能需要先生成前面的状态，却不意味着序列只包含已经算出的那一小段。

只给最后的递推式不能确定唯一序列。初值换为 $F_0=F_1=0$，会得到全零序列；换为其他初值又得到其他序列。存在性来自逐步定义，唯一性来自数学归纳法理路数学归纳法Mathematical induction · Weak induction由基例和从 n 到 n+1 的归纳步推出性质对全部自然数成立。：任何满足相同初值和递推的两条序列，都必须逐项相同。还要保证递推每一步有定义；例如“下一项取上一项的倒数”不能从零开始。

位置保留了什么信息 ​

考虑 $a_n=(-1{)}^n$。偶数位置组成子序列 $a_{2k}=1$，奇数位置组成 $a_{2k+1}=-1$。两个子序列分别恒定，却有不同极限；因此原序列不收敛。仅仅说它的值来自集合 $\{-1,1\}$，看不出这种先后结构。

交换每对相邻位置，得到

这是一种重排：索引通过 ${\mathbb{N}}_0$ 的双射重新安排。它不是子序列，因为索引没有严格递增。即使某次重排碰巧产生与某个子序列相同的值，也不能把两种索引操作当作同一个定义。

重排“先列所有偶数位置，再列所有奇数位置”则不能由自然数索引实现：前半段没有最后一个位置，后半段也就没有第一个位置。合法的无限重排必须让每个原位置在某个有限的新索引处出现。这与把一个有限数组分成两段再拼接有本质区别。

无限对象不等于无限个不同值 ​

常值序列 $a_n=c$ 有无限多个位置而只取一个值。有限集合中也可以有无限序列；它必然重复某些值，但不必从某一步开始周期性重复。例如令 $a_n=1$ 当且仅当 $n$ 是 $2$ 的非负整数次幂，其余位置为 $0$。两个 $1$ 之间的间隔越来越长，而 $1$ 又出现无穷多次，因此它不可能最终周期性重复。

序列还可以取函数、集合或矩阵为值。例如 $f_n(x)=x^n$ 是 $[0,1]$ 上的一条函数序列。固定 $x<1$ 时 $f_n(x)\to 0$，而 $f_n(1)=1$；讨论整条函数序列如何趋近一个函数，需要另行指定“接近”的含义。序列定义只给出索引结构，不替取值空间决定收敛概念。

“最终总是”与“无穷多次” ​

对关于项的性质 $P(a_n)$，下面两个句子量词不同：

左式说坏情况最终消失；右式说好情况还会不断再现。交替序列中，“项等于 $1$”发生无穷多次，却不是最终总成立。序列收敛理路序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。要求对每个误差阈值，所有足够靠后的项都进入相应邻域，不能只挑出无穷多个接近目标的项。

在度量空间中，若 $a_n\to a$，则每条子序列也趋于 $a$：给定误差 $\epsilon$，原序列在某个位置 $N$ 后全部合格，而 $n_k$ 最终超过 $N$。修改有限多个初项也不改变极限，因为这些位置可以全部放到同一个有限前缀里。

更一般地，收敛序列的任何双射重排仍收敛到同一极限。给定 $\epsilon$，原序列不合格的位置只有有限多个；它们在重排后仍只占有限多个位置。这里讨论的是“项的收敛”，不能把它误用于级数理路级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。：级数研究部分和，重排项会改变求和过程中出现的累积值。

级数理路级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。则从数列 $(a_n)$ 构造部分和序列

再研究 $(s_N)$ 是否收敛。项趋零与部分和收敛属于两个不同序列的问题，这也是“$a_n\to 0$ 不足以保证级数收敛”的根本原因。

算法执行、时间序列和数据流都能用序列描述，但它们额外携带不同约束。在线算法在时刻 $n$ 只能看到相应前缀；无限序列作为数学对象并不自动满足可计算性，也不意味着所有值可以同时放进内存。把记录对象与访问方式分开，才能正确比较离线、在线和流式处理。

可选拓展：均匀前缀与一般拓扑 ​

低差异序列理路星差异与低差异序列Star discrepancy · Low-discrepancy sequence用锚定于原点的轴对齐盒测量有限点集经验分布偏离单位立方均匀分布的最坏程度。约束的是各个前缀的分布均匀程度，不是每一项单独满足某种条件。普通收敛则考察尾部靠近一个点；两者虽然都研究同一套自然数索引，描述的整体行为不同。

自然数索引有时不足以描述一般拓扑空间的全部极限现象。网理路网Net · Moore–Smith net · 拓扑网以有向集为索引的点族，用共同后继表达一般拓扑中的逼近。把索引推广为有向集；序列是其中以自然数通常次序为索引的特例。这个推广说明序列结构的适用边界，不改变本页从自然数出发的学习顺序。