Weierstrass M 判别法

逐点收敛允许不同位置以完全不同的速度稳定。M 判别法则为每一项找一个与位置无关的上界 $M_n$，把所有点共享的最坏误差压到同一条数项级数下面。只要这份总误差预算可求和，任何位置上的尾部都会同时变小。

它可以看作比较判别法的一致版本。普通比较只对固定 $x$ 控制 $\sum _n{f}_n(x)$；M 判别法先取统一包络，再把 $x$ 从估计中消去。换来的结论很强：不仅一致收敛，还得到逐点绝对收敛。

统一包络按绝对值累加每一项，因而适合靠项的大小衰减而收敛的级数。若收敛主要依靠正负抵消，则可以直接估计带符号的尾和；下面的交错级数给出了这种做法。

取 $0\le r<1$，在闭区间 $|x|\le r$ 上，几何级数满足

所以 $\sum _{n\ge 0}{x}^n$ 在该区域一致收敛到 $1/(1-x)$。若把区域扩大到整个 $[0,1)$，则

任何统一包络都至少为 $1$，不可求和。这里收敛也确实不一致：当 $x$ 接近 $1$ 时，尾和 $x^p/(1-x)$ 可以很大。

复指数级数对固定 $R\ge 0$，在闭圆盘 $|z|\le R$ 上满足

因此 $\sum z^n/n!$ 在每个闭圆盘上一致绝对收敛。这种“每个紧子集上都有自己的包络”是复分析中局部一致收敛的常见证明方式。

一致收敛也可以依靠相消。先看常值函数级数：

它与 $x$ 无关，因而一旦标量级数收敛，收敛自动是一致的；但 $\sum _n\underset{x}{sup}|f_n(x)|=\sum _{n}1/n$ 发散。它的一致误差就是标量交错级数的余项。

若分母随位置变化，仍可找到统一的交错余项界。令

交错级数余项对所有 $x\ge 0$ 都不超过 $1/(N+1)$，所以级数一致收敛。然而

其和仍发散。分母 $n+x$ 随 $n$ 递增，下一项的绝对值在所有位置都至多为 $1/(N+1)$，所以相消给出的尾误差可以统一控制。

若 $E$ 配有拓扑且每个 $f_n$ 都连续，M 判别法给出的统一极限仍连续；在有限区间上，还可把一致收敛与积分连续性结合，得到

对在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可微的函数项，若 $\sum _n{f}_n(x_0)$ 在某个 $x_0\in [a,b]$ 收敛，且导数级数在 $(a,b)$ 满足 M 判别法，就可对部分和应用一致导数极限定理：原级数在 $[a,b]$ 一致收敛，和函数在 $(a,b)$ 可微，其导数等于导数级数之和。原级数在一点的值固定积分常数，导数级数控制整个区间上的变化。

幂级数 $\sum a_n{z}^n$ 在收敛半径 $R$ 内的每个闭圆盘 $|z|\le r<R$ 上，可取

由此得到局部一致收敛。把同样估计应用于导数级数，便得到逐项求导公式，并同时控制导数展开的截断误差。

对 Fourier 级数，若系数绝对可和，则

给出全局一致收敛，和函数因而连续。对于系数不绝对可和的 Fourier 级数，正交性可用于研究均方收敛，Dirichlet 核等工具则用于研究逐点收敛。

考虑具有逐级高频振荡的函数级数

连续性由 $|a^n\cos \left(b^n\pi x\right)|\le a^n$ 和 M 判别法得到。形式上求导时，第 $n$ 项的振幅则含有 $(ab{)}^n$；当 $ab>1$ 时，这些振幅随频率一起增长。Weierstrass 函数的构造在适当参数条件下利用这种振荡证明处处不可微：M 判别法在其中负责连续性，高频估计负责不可微性。

固定 $\delta >0$，在半平面 $\mathrm{Re}s\ge 1+\delta$ 上，Dirichlet 级数 $\sum n^{-s}$ 被 $n^{-1-\delta }$ 控制。因而它在每个这样的闭半平面上一致收敛；结合局部一致极限保持全纯，可得Riemann ζ 函数理路Riemann ζ 函数与 Euler 乘积Riemann zeta function · Euler product for zeta · 黎曼 ζ 函数在实部大于一的半平面定义 ζ 函数，从唯一分解严格推出 Euler 乘积与非零性，再以有界素数幂余项证明素数倒数和发散。在 $\mathrm{Re}s>1$ 上全纯。该页继续用唯一分解证明 Euler 乘积；非主特征标的 L 函数理路Dirichlet L 函数与模四素数Dirichlet L-function · 狄利克雷 L 函数从周期乘法特征标定义 L 函数，证明非主特征标在右半平面的收敛，以 L(1,χ₄)=π/4 和 Euler 对数余项证明模四两类素数倒数和发散。则依靠周期部分和的抵消，在绝对收敛区域之外得到局部一致收敛。

数值逼近中，若 Chebyshev 展开 $\sum _n{c}_n{T}_n(x)$ 满足 $\sum _n|c_n|<\mathrm{\infty }$，利用 $|T_n(x)|\le 1$ 可在 $[-1,1]$ 上得到一致收敛，并将截断误差控制为 $\sum _{n>N}|c_n|$。若实际使用近似系数 ${\hat{c}}_n$，前 $N+1$ 项的系数误差再贡献至多 $\sum _{n=0}^N|c_n-{\hat{c}}_n|$；两项相加，就把级数截断和系数计算的影响分开量化。