Weierstrass M 判别法

逐点收敛允许不同位置以完全不同的速度稳定。M 判别法则为每一项找一个与位置无关的上界 $M_n$，把所有点共享的最坏误差压到同一条数项级数下面。只要这份总误差预算可求和，任何位置上的尾部都会同时变小。

它可以看作比较判别法的一致版本。普通比较只对固定 $x$ 控制 $\sum _n{f}_n(x)$；M 判别法先取统一包络，再把 $x$ 从估计中消去。换来的结论很强：不仅一致收敛，还得到逐点绝对收敛。

代价也由此产生。若收敛依赖正负项相消，$\sum _n|f_n(x)|$ 可能发散，任何可求和的统一包络都不存在。此时 M 判别法无法使用，但原函数级数仍可能一致收敛。判别失败只说明这条证明路线不足，不说明结论为假。

在闭区间 $|x|\le r<1$ 上，几何级数满足

所以 $\sum _{n\ge 0}{x}^n$ 在该区域一致收敛到 $1/(1-x)$。若把区域扩大到整个 $[0,1)$，则

任何统一包络都至少为 $1$，不可求和。这里收敛也确实不一致：当 $x$ 接近 $1$ 时，尾和 $x^p/(1-x)$ 可以很大。

复指数级数在任意固定闭圆盘 $|z|\le R$ 上满足

因此 $\sum z^n/n!$ 在每个闭圆盘上一致绝对收敛。这种“每个紧子集上都有自己的包络”是复分析中局部一致收敛的常见证明方式。

M 判别法不是必要条件。最小的反例可把交错调和级数视为常值函数级数：

它与 $x$ 无关，因而一旦标量级数收敛，收敛自动是一致的；但 $\sum _n\underset{x}{sup}|f_n(x)|=\sum _{n}1/n$ 发散。这个例子直接分开了“一致收敛”与“绝对一致控制”。

非平凡的空间依赖也可能依靠相消。令

交错级数余项对所有 $x\ge 0$ 都不超过 $1/(N+1)$，所以级数一致收敛。然而

其和仍发散。这里的一致收敛来自符号相消，适合 Dirichlet 或 Abel 型方法，而不是绝对包络。前一个例子排除逻辑误解，后一个例子说明这种现象并非只存在于常值函数中。

若每个 $f_n$ 都连续，M 判别法给出的统一极限仍连续；在有限区间上，还可把一致收敛与积分连续性结合，得到

逐项求导需要更强条件，不能只由原级数的 M 判别法推出。常用做法是先在一点验证 $\sum _n{f}_n(x_0)$ 收敛，再对导数级数 $\sum _n{f}_n^{\prime }$ 建立可求和的统一包络；这样才能同时得到原级数的一致收敛和极限函数的导数公式。

幂级数 $\sum a_n{z}^n$ 在收敛半径 $R$ 内的每个闭圆盘 $|z|\le r<R$ 上，可取

由此得到局部一致收敛。把同样估计应用于导数级数，便能在更小的闭圆盘上严格支持逐项求导，而不是只凭形式幂级数运算猜测结果。

对 Fourier 级数，若系数绝对可和，则

给出全局一致收敛，和函数因而连续。一般 Fourier 级数的 $L^2$ 收敛或条件逐点收敛不满足这种绝对包络，必须使用正交性、Dirichlet 核或其他工具。

Weierstrass 处处连续、处处不可微函数的经典构造使用

连续性由 $|a^n\cos \left(b^n\pi x\right)|\le a^n$ 和 M 判别法得到；不可微性则依赖高频振荡，需要另一套论证。这个例子清楚展示了一条定理可以负责构造中的某一层，而不替代全部性质证明。

在半平面 $\mathrm{Re}s\ge 1+\delta$ 上，Dirichlet 级数 $\sum n^{-s}$ 被 $n^{-1-\delta }$ 控制。因而它在每个这样的闭半平面上一致收敛；结合局部一致极限保持全纯，可得 Riemann zeta 函数在 $\mathrm{Re}s>1$ 上全纯。

数值逼近中，若 Chebyshev 展开 $\sum _n{c}_n{T}_n(x)$ 的系数满足 $\sum _n|c_n|<\mathrm{\infty }$，利用 $|T_n(x)|\le 1$ 可在 $[-1,1]$ 上直接得到一致收敛与尾误差界。M 判别法负责的是级数层面的统一误差；节点选择、系数计算和 Clenshaw 求值的稳定性仍属于独立的数值问题，不能由收敛判别一并代替。