形式陈述

设函数 $f_n:E\to\mathbb R$$f_n:E\to \mathbb{R}$ 或 $\mathbb C$$\mathbb{C}$，若存在常数 $M_n\ge0$$M_n\ge 0$ 使

$$ |f_n(x)|\le M_n\quad\text{对所有 }x\in E, $$$$|f_n(x)|\le M_n\text{对所有 }x\in E,$$

且数项级数 $\sum M_n$$\sum M_n$ 收敛，则函数级数 $\sum f_n$$\sum f_n$ 在 $E$$E$ 上绝对且一致收敛。证明由一致 Cauchy 判据：对 $q>p$$q>p$，

$$ \sup_{x\in E}\left|\sum_{n=p}^qf_n(x)\right| \le\sum_{n=p}^qM_n\longrightarrow0. $$$$\underset{x\in E}{sup}|\sum _{n=p}^q{f}_n(x)|\le \sum _{n=p}^q{M}_n⟶0.$$

直觉

用一个与位置无关的可求和“包络”控制每一项，就能把无穷多个点上的尾部同时压小。

例子与边界

在 $|x|\le r<1$$|x|\le r<1$ 上，$|x^n|\le r^n$$|x^n|\le r^n$，故几何函数级数一致收敛；在 $[0,1)$$[0,1)$ 上不存在同样的可求和统一界，且收敛不一致。M 判别法是充分条件而非必要条件：某些一致收敛级数找不到逐项可求和的全局上界。事实上，同一组界也直接保证绝对值级数 $\sum|f_n|$$\sum |f_n|$ 一致收敛，并且其和由 $\sum M_n$$\sum M_n$ 一致控制；但判别法只是充分条件，不是函数级数一致收敛的必要条件。

推论与应用

M 判别法快速验证 Fourier 级数、幂级数在紧子集上的收敛，并结合连续性和积分定理证明和函数连续及可逐项积分。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 6, the Weierstrass M-test。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 7, uniform convergence of infinite series。