形式陈述

设 $f_n:E\to\mathbb R$$f_n:E\to \mathbb{R}$ 或 $\mathbb C$$\mathbb{C}$。若存在 $f:E\to\mathbb F$$f:E\to \mathbb{F}$，使对每个 $\varepsilon>0$$\epsilon >0$ 都存在只依赖于 $\varepsilon$$\epsilon$ 的 $N$$N$，满足

$$ n\ge N\Longrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\quad\text{对所有 }x\in E, $$$$n\ge N⟹|f_n(x)-f(x)|<\epsilon \text{对所有 }x\in E,$$

则称 $f_n$$f_n$ 一致收敛到 $f$$f$。等价地，在上确界有限时，$\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to0$$\underset{x\in E}{sup}|f_n(x)-f(x)|\to 0$。一致 Cauchy 判据无需预先知道极限。

直觉

逐点收敛允许不同点以不同速度靠近极限；一致收敛要求同一个阶段同时控制整个定义域，因而能把局部误差变成全局误差界。

例子与边界

$f_n(x)=x^n$$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$$[0,1]$ 上逐点趋于在 $[0,1)$$[0,1)$ 为 $0$$0$、在 $1$$1$ 为 $1$$1$ 的不连续函数，因此不一致收敛；在 $[0,a]$$[0,a]$、$a<1$$a<1$ 上则一致收敛到 $0$$0$。连续函数的一致极限连续，但逐点极限未必连续。一致收敛通常允许在有限区间上交换极限与 Riemann 积分；交换导数还需导数列一致收敛并控制一个基点，单有 $f_n\to f$$f_n\to f$ 一致不足够。

推论与应用

一致收敛是函数空间中上确界范数收敛的原型，用于连续性保持、积分换极限、逼近理论和函数级数。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 6, uniform convergence and preservation theorems。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 7, uniform convergence and interchange of limiting operations。