函数列逐点收敛

量词顺序是“对每个固定 $x$，存在依赖于 $x$ 的起始索引 $N$”。不同点可以以完全不同的速度稳定，甚至最慢收敛区域随 $n$ 不断移动。逐点极限记录各个位置的最终值；不同位置的误差是否同时变小，要看这些阈值能否统一。

在 $[0,1]$ 上 $f_n(x)=x^n$ 逐点收敛到在 $[0,1)$ 为 $0$、在 $1$ 为 $1$ 的函数，因此连续性不由逐点收敛保留。若 $0<x<1$ 且 $0<\epsilon <1$，只需 $n>\log \epsilon /\log x$，就有 $x^n<\epsilon$；但当 $x\uparrow 1$ 时，所需阈值趋于无穷。

这也能直接检验非一致性：对任意固定 $n$，$\underset{0\le x<1}{sup}{x}^n=1$。虽然 $x=1$ 处误差恰为零，全区间误差上确界仍恒为 $1$，不趋零。这个上确界由越来越靠近 $1$ 的内部点逼近，在任何单点都没有取到。

在 $[0,1]$ 上取 $f_n(x)=nx(1-x^2{)}^n$。对每个固定 $x>0$，指数项压倒 $n$，故 $f_n(x)\to 0$，且 $f_n(0)=0$；其峰值在靠近零处移动。求导得峰值位置 $x_n=(2n+1{)}^{-1/2}$，相应高度为

按常数量级乘 $\sqrt{n}$ 增长。更直接地，作代换 $u=1-x^2$ 可精确算出

而极限函数的积分是 $0$。每个固定位置的函数值最终趋零，峰却向零点移动并不断增高，保留下趋向 $1/2$ 的面积。

若 $g_n(x)=(-1{)}^n{\mathbf{1}}_{\{0\}}(x)$，则在每个 $x>0$ 处都恒为零，在 $x=0$ 处振荡。失败集合只有零点，Lebesgue 测度为零，所以它几乎处处收敛到零；它在原定义域 $[0,1]$ 上不逐点收敛；将定义域限制到 $(0,1]$ 后，才逐点收敛到零。

把依赖于 $x$ 的阈值统一为一个 $N$，便得到一致收敛理路函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。，连续函数列的极限因此仍连续。对可测函数列的积分，若另有可积函数 $g$ 满足 $|f_n|\le g$，控制收敛定理理路控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。就允许把逐点极限传入积分。

在多项式插值中，逐点误差描述每个固定位置的逼近效果，全区间最大误差则使用上确界。Lebesgue 常数理路Lebesgue 常数与插值条件性Lebesgue constant · Interpolation conditioning用插值算子的无穷范数刻画节点集合对采样扰动和最佳逼近误差的放大。进一步衡量插值过程对数据误差的放大：若节点值的扰动不超过 $\delta$，插值多项式在区间上的扰动不超过 ${\mathrm{\Lambda }}_n\delta$。

Fourier 的 Gibbs 现象理路Fourier 的 Gibbs 现象Gibbs phenomenon用方波的缩放极限解释间断旁不消失的超调高度，并区分逐点、积分与一致误差。提供一个具体对照：对固定的非跳点位置，部分和可以收敛；与此同时，随模态数移动到跳点附近的峰值仍保持非零超调。逐点固定自变量的条件在这里至关重要。