函数列逐点收敛

量词顺序是“对每个固定 $x$，存在依赖于 $x$ 的起始索引 $N$”。不同点可以以完全不同的速度稳定，甚至最慢收敛区域随 $n$ 不断移动。逐点极限因此保留每个坐标的最终值，却几乎不提供整个图像的统一控制。

在 $[0,1]$ 上 $f_n(x)=x^n$ 逐点收敛到在 $[0,1)$ 为 $0$、在 $1$ 为 $1$ 的函数，因此连续性不由逐点收敛保留。

在 $[0,1]$ 上取 $f_n(x)=nx(1-x^2{)}^n$。对每个固定 $x>0$，指数项压倒 $n$，故 $f_n(x)\to 0$，且 $f_n(0)=0$；但函数峰值在靠近零处移动，不能由一个统一小界控制。逐点极限与积分、极值或连续性都可能不交换，必须另外证明一致收敛或支配条件。

该概念把函数列视作每点一条序列，并使用序列收敛公理库序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。逐坐标定义。若把依赖于 $x$ 的 $N$ 提升为全域统一的 $N$，便得到一致收敛公理库函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。，从而更容易保留连续性。交换积分时则通常借助控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。，而不是仅凭逐点极限。对一列插值多项式，逐点逼近每个固定 $x$ 也不足以控制全区间最大误差；节点扰动与数据误差怎样进入 sup-norm，要由Lebesgue 常数和插值条件性公理库Lebesgue 常数与插值条件性Lebesgue constant · Interpolation conditioning用插值算子的无穷范数刻画节点集合对采样扰动和最佳逼近误差的放大。另行分析。