形式陈述

函数列 $f_n:X\to Y$ 逐点收敛到 $f$，若对每个固定 $x\in X$ 都有 $f_n(x)\to f(x)$。在度量值域中，量词顺序是

$$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N=N(x,\epsilon )\mathrm{\forall }n\ge N,d(f_n(x),f(x))<\epsilon .$$

收敛速度可以随 $x$ 改变。

直觉

逐点收敛只要求每个观察点最终稳定，不要求所有点在同一个时刻同时稳定。

例子与边界

在 $[0,1]$ 上 $f_n(x)=x^n$ 逐点收敛到在 $[0,1)$ 为 $0$、在 $1$ 为 $1$ 的函数，因此连续性不由逐点收敛保留。

推论与应用

它用于区分一致收敛，并明确何时可以交换极限与积分、导数或无穷和。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed. (2015), sequences of functions.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), modes of convergence.