极限

把 $\epsilon$ 看作输出允许的误差，把 $\delta$ 看作输入必须满足的距离限制。先给出输出要求，再倒过来寻找足够严格的输入要求；同一个 $\delta$ 要保证附近所有合法输入合格，不能检查一个 $x$ 就临时换一个半径。

例如要求输出离 $L$ 不超过百分之一，与要求不超过百万分之一，可以使用不同的输入半径。极限存在要求每个正精度都能做到，并不要求函数值最终恰好等于 $L$。条件 $0<|x-a|$ 又把点 $a$ 本身排除在外，所以极限检查的是周围行为，而不是该点填了什么值。

$\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4$ 可以按定义走完全程：$|x^2-4|=|x-2||x+2|$，先约定 $|x-2|<1$，从而 $|x+2|<5$，于是取 $\delta =min(1,\epsilon /5)$ 就能保证 $|x^2-4|<\epsilon$。这种"先粗限再精调"的两步走是 $\epsilon$-$\delta$ 论证的基本套路。

极限与点值无关有两个面向。函数 $g(x)=(x^2-4)/(x-2)$ 在 $x=2$ 处没有定义，但 $x\ne 2$ 时 $g(x)=x+2$，故 $\underset{x\to 2}{lim}g(x)=4$ 照常存在；反过来，把 $x^2$ 在 $x=2$ 处的值改成 $100$，极限仍是 $4$——定义中的 $0<|x-a|$ 正是为这种情形而设。

极限不存在也分层次。符号函数在 $0$ 处左极限为 $-1$、右极限为 $1$，两侧不合，双侧极限不存在。更彻底的是 $x\to 0$ 时的 $\sin \left(1/x\right)$：取 $x_n=1/(n\pi )$ 函数值恒为 $0$，取 $x_n=1/(\pi /2+2n\pi )$ 则恒为 $1$，按 Heine 刻画极限不存在，这两列都从右侧趋于零，故右极限不存在；将两列输入取负，同样可排除左极限。这里还有一个常见误用值得点破：极限的四则运算法则要求各部分极限先存在，对不存在的极限不能拆分使用——$x\cdot \frac{1}{x}\to 1$（$x\to 0$）成立，却不能说成"两个因子极限的乘积"。

Heine 刻画为什么能抓住所有失败情形？如果 $L$ 不满足定义，就存在固定的 ${\epsilon }_0>0$，使每个输入半径内都有输出误差至少为 ${\epsilon }_0$ 的点。依次用半径 $1,1/2,1/3,\dots$ 选这些坏点，便得到一列趋于 $a$、函数值却不趋于 $L$ 的序列。反驳一个候选极限时找一列坏序列足够，证明极限存在时则必须覆盖所有序列。

极限是分析学的原子操作：在定义域聚点处，连续性理路连续性Continuity · Continuous function函数在输入微小变化时输出可被控制为任意小变化的性质。要求极限等于函数值，导数理路导数Derivative函数增量比在步长趋零时的极限。是差商的极限，Riemann 积分理路Riemann 积分Riemann integral上下和或分割和在网格细化下共同收敛所定义的积分。是 Riemann 和的极限，级数理路级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。之和是部分和序列的极限。算法分析中的渐近记号理路渐近记号Asymptotic notation · Big O notation忽略常数和低阶项，比较函数在输入趋于无穷时的增长速度。同样用极限（或最终占优）语言定义增长阶。把 $\epsilon$-邻域抽象为开集后，同一定义提升为拓扑空间中的收敛理路拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入候选极限的每个邻域时所定义的一般拓扑收敛。，"接近"的度量方式成为可替换的组件——这是从数轴走向度量空间与一般拓扑的第一步。

数值过程里常见两类不同极限：迭代编号 $k\to \mathrm{\infty }$ 追踪算法状态，离散尺度 $h\to 0$ 则研究一族离散问题。离散化误差理路离散化误差与截断误差Discretization error · Truncation error区分连续问题的离散缺陷与离散解的全局误差，并说明一致性为何不能单独保证收敛。属于后一类；若不说明同时固定了哪些数据、时间区间与范数，就不能把两种极限的结论直接互换。