形式陈述

函数 $f$$f$ 在点 $a$$a$ 的极限为 $L$$L$，记作 $\lim_{x\to a}f(x)=L$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$$\epsilon >0$，存在 $\delta>0$$\delta >0$，使 $0<|x-a|<\delta$$0<|x-a|<\delta$ 时都有 $|f(x)-L|<\varepsilon$$|f(x)-L|<\epsilon$。

直觉

无论要求输出离 $L$$L$ 多近，总能把输入限制在足够靠近 $a$$a$ 的范围内来满足要求。定义谈的是可控制性，而不是“真的到达”。

例子与边界

$\lim_{x\to2}x^2=4$$\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4$。函数在 $a$$a$ 处可以没有定义却仍有极限；左右极限不同则双侧极限不存在。

推论与应用

连续、导数、积分、无穷级数和渐近分析都由极限语言定义。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., Chapter 4.
• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Chapter 2.