链式法则

形式陈述 ​

设 $U\subseteq X$、$V\subseteq Y$ 是赋范向量空间中的开集，$f:U\to V$ 在 $a\in U$ 处 Fréchet 可微，$g:V\to Z$ 在 $f(a)$ 处 Fréchet 可微。则复合映射公理库函数复合Function composition · Composition of maps按先 f 后 g 的次序把映射串联为 g∘f。 $g\circ f$ 在 $a$ 处可微，而且

$$D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a).$$

这里 $Df(a):X\to Y$ 与 $Dg(f(a)):Y\to Z$ 都是连续线性映射，右侧是线性映射的复合，不是坐标逐项相乘。量词条件不能省略：需要 $f$ 在 $a$ 可微、$g$ 在实际到达点 $f(a)$ 可微，并且 $f$ 的邻域像落在 $g$ 的定义域内。

证明来自余项控制。写

$$f(a+h)=f(a)+Ah+r(h),\frac{\Vert r(h)\Vert }{\Vert h\Vert }\to 0,$$

以及

$$g(f(a)+k)=g(f(a))+Bk+s(k),\frac{\Vert s(k)\Vert }{\Vert k\Vert }\to 0.$$

令 $k=Ah+r(h)$。由于 $k=O(\Vert h\Vert )$，代入后得到

$$g(f(a+h))-g(f(a))=BAh+Br(h)+s(k),$$

后两项都是 $o(\Vert h\Vert )$，故导数为 $BA$。

在一维实函数情形，该式退化为熟悉的

$$(g\circ f{)}^{\prime }(a)=g^{\prime }(f(a))f^{\prime }(a).$$

若 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$、$g:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^p$，采用列向量约定时则为 Jacobian 矩阵乘法

$$J_{g\circ f}(a)=J_g(f(a))J_f(a).$$

直觉 ​

复合函数把微小扰动分两段传递：$h$ 先被 $Df(a)$ 变成输出空间中的一阶扰动，再被 $Dg(f(a))$ 继续变换。局部误差不会凭空变成一阶项，因为第一层输出扰动至多与 $\Vert h\Vert$ 同阶，第二层的高阶余项仍然比它小一个量级。

矩阵相乘的顺序记录了数据流方向。先执行 $f$ 再执行 $g$，对扰动却写成 $J_g{J}_{f}h$；若交换两个 Jacobian，不但维数往往不匹配，也代表完全不同的计算图。自动微分正是把长复合拆成局部 Jacobian，再选择从输入向输出或从输出向输入累积这些线性映射。

例子与计算 ​

取 $f(x,y)=(x^2+y,\sin y)$，$g(u,v)=u{e}^v$。在 $(1,0)$ 处，$f(1,0)=(1,0)$，

$$J_f(1,0)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right),J_g(1,0)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right).$$

因此

$$J_{g\circ f}(1,0)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\end{array}\right).$$

直接展开 $g(f(x,y))=(x^2+y)e^{\sin y}$ 并求偏导，也得到梯度坐标 $(2,2)$。这个例子展示的是中间空间两个方向如何汇合，而不是把两个导数逐分量相乘。

沿可微曲线 $\gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\to {\mathbb{R}}^n$，标量函数 $F$ 满足

$$\frac{d}{dt}F(\gamma (t))=DF(\gamma (t))[{\gamma }^{\prime }(t)]=\mathrm{\nabla }F(\gamma (t){)}^{\mathsf{T}}{\gamma }^{\prime }(t),$$

它把梯度与方向导数联系起来，也说明“对路径求导”是同一线性复合原理。

边界与失败情形 ​

仅有方向导数不足以保证链式法则的 Fréchet 版本。函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^3}{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

在原点沿每条直线都有方向导数，但这些方向导数组不成一个线性映射，因此不能把它当作 $Df(0)$ 放进 Jacobian 乘积。链式法则需要真正控制所有方向的统一余项。

外层函数只在某些方向可导也不够。例如 $g(t)=|t|$ 在 $0$ 不可导；即便内层 $f(x)=x$ 完全光滑，$g\circ f=|x|$ 在零点仍不可导。另一方面，复合函数可导并不反推每一层可导：取 $f(x)=|x|$、$g(t)=t^2$，复合为 $x^2$，但 $f$ 在零点不可导。

高阶链式法则会出现双线性项而非简单矩阵连乘。例如

$$D^2(g\circ f)(a)[h,k]=D^{2}g(f(a))[Df(a)h,Df(a)k]+Dg(f(a))[D^{2}f(a)[h,k]].$$

忽略第一项或把 Hessian 当成逐项乘积，会丢失曲率通过内层映射传播的部分。

推论与应用 ​

多层复合 $f_L\circ \cdots \circ f_1$ 的导数是按反向书写顺序排列的乘积 $D{f}_L\cdots D{f}_1$。前向模式把一个输入切向量逐层推进，反向模式把一个输出余切向量逐层拉回；二者计算的是同一链式法则，只是结合次序不同。

变量替换、隐函数求导、灵敏度分析与神经网络反向传播都依赖这一结论。实际计算中还要区分数学上的导数存在与程序实现是否在分支点、溢出或不可微原语处忠实表示它。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，§9.15。
• Serge Lang, Real and Functional Analysis, 3rd ed., Springer, 1993，关于 Fréchet derivative 与 chain rule 的章节。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, Westview Press, 1965，Ch. 2。