关系

底层关系图只记录哪些有序对象对被判定“相关”，类型数据则规定这些对象对被允许来自哪里。它不要求每个源元素都有输出，也不要求输出唯一、关系对称或传递；函数图、偏序和等价关系都可由关系加入相应约束得到。把图视为集合后，逆关系、复合、闭包和限制都可用集合运算统一定义，但复合的类型匹配仍依赖声明的源和目标。

自然数上的整除关系 $a\mid b$ 是齐次关系：它是 $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ 的子集，并满足反射、反对称和传递。它既不是“某个数值函数”，也不要求任意两数可比较；例如 $2$ 与 $3$ 互不整除。这个例子预告了偏序结构，而不需要在本页证明所有偏序定理。

类型数据不能从关系图恢复。同一个图 $R=\{(1,1)\}$ 可配成从 $\{1\}$ 到 $\{1\}$ 的关系，也可配成从 $\{1\}$ 到 $\{1,2\}$ 的关系；两者实际投影相同，却在全域性、满射性与可复合对象上不同。

$R=\{(1,a),(1,b)\}$ 是合法关系，但不是从 $\{1\}$ 到 $\{a,b\}$ 的函数，因为输入 $1$ 对应两个输出；“$y^2=x$”也通常一对多。函数图还须让声明定义域中的每个元素恰有一个输出，并保留陪域这一类型数据。关系复合一般不交换，图上的可达关系则是邻接关系的传递闭包。

一般关系没有默认的反射性、对称性、传递性或函数性。等价关系公理库等价关系Equivalence relation满足自反、对称和传递性的关系。加入反射、对称与传递，用等价类表达分类；偏序公理库偏序Partial order · Partially ordered set满足自反、反对称和传递性的关系。改用反对称性，表达可能存在不可比较元素的层级。

函数公理库函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。沿另一方向加约束：声明定义域中的每个输入必须恰有一个输出。分类、排序和求值都是从关系得到的结构，却不能把各自公理混成一张入口清单。

图边、数据库记录和程序的一步转移都可以使用关系表示，但“共享表示”不等于“共享语义”。转移关系描述系统允许怎样前进，标号转移系统公理库标号转移系统Labeled transition system · Labelled transition system · LTS在状态转移上标记动作，明确路径、可达性、使能动作以及终止与死锁的行为模型。还记录动作，模拟关系公理库模拟关系Simulation relation · Forward simulation · Weak simulation用方向性的状态关系要求一个系统的每步行为能够由另一个系统匹配。则比较两个系统的行为。复合与闭包提供共同运算；每个领域怎样解释一对元素，仍由相应后继条目负责。