集合

可以把集合看成一份只回答“在不在其中”的成员记录。记录不保存排列顺序、重复次数、插入时间或存储地址，因此 $\{a,b\}$ 与 $\{b,a,a\}$ 表示同一个集合。若顺序、重数或邻接方式会影响对象身份，就需要列表、多重集合、图等额外结构。

集合能够继续充当元素，于是会形成层级。若 $a\in A$，单元素集 $\{a\}$ 是 $A$ 的子集；$A$ 自身则是幂集公理库幂集Power set把 A 的每一种子集选择提升为元素所得的集合，记作 P(A)。 $\mathcal{P}(A)$ 的一个元素。再往前，有序对公理库有序对Ordered pair区分第一、第二分量且由分量逐项相等刻画相等性的二元对象。可以由集合编码，而 $A\times B$ 的元素是有序对，不是 $A$ 或 $B$ 中的普通元素。这条层级线索解释了许多初学错误：括号每增加一层，对象的类型就可能已经改变。

集合只提供载体。把同一个底集赋予不同次序、运算、拓扑或概率测度，会得到不同的数学结构；外延性只判断底层成员是否相同，不替这些附加结构判等。

设一张有向网络的顶点集为 $V=\{u,v,w\}$，边集为

$u\in V$，但 $(u,v)\notin V$；相反，$(u,v)\in E$。这个例子中的 $V$、$V\times V$ 与 $E$ 分属“顶点集合”“有序对集合”“有序对集合的子集”三个层次。若把边写成 $\{u,v\}$，方向信息就会消失。

空集 $\varnothing$ 没有元素，却仍是一个集合。下列三个对象彼此不同：

后两个集合都只有一个元素，但元素分别是 $\varnothing$ 与 $\{\varnothing \}$。成员关系也不传递：虽然 $\varnothing \in \{\varnothing \}$ 且 $\{\varnothing \}\in \{\{\varnothing \}\}$，却有 $\varnothing \notin \{\{\varnothing \}\}$。

Russell 悖论划出受限成集的边界。假设存在

代入 $x=R$ 会得到 $R\in R⟺R\notin R$。ZF 没有“所有集合组成的集合”，分离模式也只能在给定底集内筛选，所以这段无界描述不能借花括号自动获得集合身份。诸如“所有序数”这样的总体可以在元语言中作为真类讨论，却不是 ZF 论域里的一个集合。

外延性公理库集合外延性公理Axiom of extensionality · Extensionality两个集合恰在拥有相同元素时相等。把集合相等化为逐元素证明。要证 $A=B$，通常分别证明 $A\subseteq B$ 与 $B\subseteq A$；要证两集合不等，只需给出一个只属于其中一边的见证。这个方法不关心集合最初如何写出，因此适用于列举式、方程解集和递归生成集。

从已有集合出发，并、交与差公理库集合运算Set operations · Union, intersection, difference用逻辑条件逐元素定义并、交、差、补与对称差，并扩展到集合族。重组成员，幂集把全部子集提升为元素，笛卡尔积公理库笛卡尔积Cartesian product · Direct product of sets由各坐标分别取值形成的有序元组集合；二元情形记作 A×B。把跨集合的选择装入坐标。随后，关系公理库关系Relation · Binary relation带源集与目标集的二元关系，其底层关系图是 A×B 的子集。成为乘积集的子集，函数公理库函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。再给关系加入全定义与单值条件。这是一条类型明确的构造链：每一步都说明新对象的元素究竟是什么。

在 ZF 内部，数、元组、关系和函数最终都能编码成集合；在普通数学论证中，应依赖它们公开的相等判据和运算规则，而不展开编码。这样既保留统一基础，也避免把某种集合编码的偶然成员关系误当成原对象的数学性质。