形式陈述

在所采用的集合论背景中，集合是可作为成员关系 $\in$$\in$ 两端对象的基本对象；记 $x\in A$$x\in A$ 表示 $x$$x$ 是 $A$$A$ 的元素。集合由其成员完全决定，但“给出一个性质”并不自动保证所有满足该性质的对象组成集合；哪些集合存在由具体集合论的公理规定。

直觉

集合把若干对象视为一个整体，并忽略排列、重复和书写方式。学习时应严格区分“对象属于集合”与“一个集合包含于另一个集合”。

例子与边界

$\{1,2\}=\{2,1\}=\{1,1,2\}$$\{1,2\}=\{2,1\}=\{1,1,2\}$，空集 $\varnothing$$\varnothing$ 没有元素。Russell 悖论说明不能无条件允许 $\{x:x\notin x\}$$\{x:x\notin x\}$ 这类“任意性质成集”，因此形式工作必须明确集合论背景或受限论域。

推论与应用

集合是关系、函数、代数结构、拓扑空间和概率空间的承载对象。外延性、子集、幂集和笛卡尔积进一步把对象汇集发展为可比较的结构语言。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §§1–5。
• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, Chapter 1。