形式陈述

设 $q:X\twoheadrightarrow Y$$q:X\twoheadrightarrow Y$ 为满射。$Y$$Y$ 上由 $q$$q$ 诱导的商拓扑定义为

$$ U\subseteq Y\text{ 开} \quad\Longleftrightarrow\quad q^{-1}(U)\text{ 在 }X\text{ 中开}. $$$$U\subseteq Y\text{ 开}⟺q^{-1}(U)\text{ 在 }X\text{ 中开}.$$

它是使 $q$$q$ 连续的最细拓扑；此时 $q$$q$ 称为商映射。若 $q$$q$ 把某个等价关系的每个等价类压为一点，则写作 $Y=X/{\sim}$$Y=X/\sim$。泛性质为：函数 $f:Y\to Z$$f:Y\to Z$ 连续，当且仅当 $f\circ q:X\to Z$$f\circ q:X\to Z$ 连续。等价地，任何在 $q$$q$ 的每个纤维上常值的连续映射 $g:X\to Z$$g:X\to Z$，都唯一分解为 $g=f\circ q$$g=f\circ q$，其中 $f:Y\to Z$$f:Y\to Z$ 连续。

直觉

先在原空间中识别若干点，再规定商空间中的开集恰好是拉回后仍开的集合；拓扑因此只保留识别操作之后还能被原空间检测到的连续结构。

例子与边界

把闭区间 $[0,1]$$[0,1]$ 的两个端点识别得到与圆 $S^1$$S^1$ 同胚的商空间。把圆盘边界全部压成一点得到 $S^2$$S^2$。商映射必须是满射；一般连续满射未必是商映射。商空间也可能失去 Hausdorff 性，例如识别关系不闭时常出现不可分离的点。

推论与应用

商拓扑统一构造圆、射影空间、轨道空间和胞腔附着。泛性质把“在等价类上常值的连续函数”唯一降到商空间，是验证商映射后函数连续性的主要工具。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§22, quotient topology and quotient maps。
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011，Ch. 3, quotient spaces and quotient maps。