商拓扑 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $X$ 是拓扑空间， $q:X\twoheadrightarrow Y$ 是满射。 $Y$ 上由 $q$ 诱导的商拓扑定义为

U\subseteq Y\text{ 开} \quad\Longleftrightarrow\quad q^{-1}(U)\text{ 在 }X\text{ 中开}.

逆像保持空集、全集、任意并与有限交，所以这些 $U$ 确实构成拓扑。它是使 $q$ 连续的最细拓扑：任何也使 $q$ 连续的目标拓扑，其每个开集都必须通过上述逆像检验，因而只能包含在商拓扑中。赋予这一拓扑后， $q$ 称为商映射。

满射 $q$ 的纤维定义等价关系

x\sim x' \quad\Longleftrightarrow\quad q(x)=q(x').

反过来，给定等价关系 $\sim$ ，自然投影 $q:X\to X/{\sim}$ 把每个等价类压成一点，并由上式给商集赋拓扑。集合 $A\subseteq X$ 称为饱和的，若它是若干完整纤维之并；等价地， $A=q^{-1}(q(A))$ 。商中开集对应的正是 $X$ 中开且饱和的集合。

商拓扑满足向外的泛性质：对任意拓扑空间 $Z$ 与映射 $f:Y\to Z$ ，

f\text{ 连续} \quad\Longleftrightarrow\quad f\circ q:X\to Z\text{ 连续}.

正向由复合连续得到；反向对 $Z$ 中开集 $V$ 使用

q^{-1}(f^{-1}(V))=(f\circ q)^{-1}(V),

再调用商拓扑的定义。

若连续映射 $g:X\to Z$ 在每条纤维上常值，就存在唯一集合映射 $f:Y\to Z$ 使 $g=f\circ q$ ；上述泛性质进一步保证 $f$ 连续。这是“一个公式能否从代表元下降到等价类”的完整检验。

直觉

商空间主动宣布一批点不可区分。粘合后的局部范围必须把每个被识别的纤维整体带走；只取纤维的一小片，会在换代表元时得到不一致的邻域。

商拓扑尽可能保留原空间的开信息，同时服从“投影连续”这一约束。它之所以取最细拓扑，是因为目标开集越多，粘合后的空间保留的局部区别越丰富。

与积拓扑相比，商构造的泛性质沿相反箭头工作。积拓扑让映入乘积的映射逐坐标检查；商拓扑让从商空间出发的映射先与投影复合，再回到原空间检查。

例子与边界

把闭区间 $[0,1]$ 的端点识别，所得商空间与圆周同胚。映射

q(t)=e^{2\pi it}

恰好在 $0$ 与 $1$ 上取同值，并在其余点上单射。它从紧空间连续满射到 Hausdorff 空间，因而诱导的商到 $S^1$ 是同胚。

把闭圆盘 $D^n$ 的整个边界 $S^{n-1}$ 压成一点，所得商 $D^n/S^{n-1}$ 与球面 $S^n$ 同胚。内部点保留原局部结构，边界纤维则汇聚成一个新的点；这个构造是胞腔附着的基本模型。

连续满射未必是商映射。恒等映射

q:(\mathbb R,\tau_{\mathrm{disc}}) \longrightarrow(\mathbb R,\tau_{\mathrm{usual}})

连续且满射，但若目标采用由 $q$ 诱导的商拓扑，它应当是离散拓扑，而不是通常拓扑。连续只给出商判据的一边，商映射要求目标拓扑被逆像完全检测。

连续的开满射一定是商映射：若 $q^{-1}(U)$ 开，则

U=q(q^{-1}(U))

由开映射性开放。连续闭满射同理可取补证明。这两条判据经常比直接枚举所有饱和开集更方便。

商构造可能破坏 Hausdorff 性。取两份实线的不交并，并把对应非零点 $(x,0)$ 与 $(x,1)$ 识别，只保留两个原点不识别，得到“双原点直线”。两个原点的任意邻域在非零部分相交，无法用不交开集分离，尽管粘合前的空间是 Hausdorff。

上述病态可由等价关系的图看出。若商空间 Hausdorff，则

R=\{(x,x'):x\sim x'\}=(q\times q)^{-1}(\Delta_Y)

在 $X\times X$ 中闭。反向一般需要附加条件；一个可靠版本是： $X$ 紧 Hausdorff 且 $R$ 闭时， $X/{\sim}$ Hausdorff。仅凭“原空间 Hausdorff”不能保证商仍可分离。

推论与应用

商投影连续且满射，所以连续像保持的性质会下降：若 $X$ 连通，则 $X/{\sim}$ 连通；若 $X$ 紧，则商空间紧。这些结论不需要商空间 Hausdorff。

分离性、可度量性和局部结构不具备同样的无条件保留。识别关系是否闭、纤维是否紧、群作用是否适当等附加假设，决定商空间能否排除粘合点附近的病态。

从商空间出发的连续映射容易检查；映入商空间通常没有对称的简化。给定 $h:Z\to X/{\sim}$ ，未必存在连续提升 $\tilde h:Z\to X$ 满足 $q\circ\tilde h=h$ 。提升需要截面、覆叠或其他额外结构，不能从商的泛性质倒推。

射影空间、轨道空间、胞腔复形与“把边界粘起来”的几何模型都沿用这一机制。实际计算时，先找纤维与饱和集，再使用泛性质处理映射，通常比直接猜测商空间中的开集可靠。

参考资料

James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000, §22.
John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011, Chapter 3.
Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993, Chapter I.