形式陈述

函数 $f:A\to B$ 是满射，当且仅当

$$\mathrm{\forall }b\in B\mathrm{\exists }a\in A(f(a)=b),$$

即 $f[A]=B$。满射性依赖所声明的陪域。

直觉

满射要求目标空间没有遗漏，但允许多个输入映到同一输出。改变陪域可能在不改变公式的情况下改变满射性。

例子与边界

$f:\mathbb{R}\to [0,\mathrm{\infty }),f(x)=x^2$ 是满射；同一公式看作 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 则不是。投影 ${\pi }_1:A\times B\to A$ 在 $B\ne \varnothing$ 时满射。

推论与应用

商映射、生成集和可达状态常由满射表达。在选择公理下满射具有右逆；没有选择时，应区分逐点存在与全局选择函数。

参考资料

• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, Chapter 12。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Functions chapter。