满射

满射回答“声明为目标的结果是否全都能达到”。定义中的量词有先后：先给任意目标 $b$，再找输入 $a$，而且 $a$ 可以随 $b$ 改变。证明时要同时核对 $a\in A$ 和 $f(a)=b$；只写出一个形式上的反解，若它不在定义域中，仍没有证明目标可达。

反驳满射则只需找到一个漏掉的 $b\in B$。从若干输入算出很多输出，都无法排除还有某个目标没有被命中。

因此满射性依赖陪域。按本库的带陪域函数约定，相同公式配上不同陪域给出不同函数。把陪域改为实际像集后，新函数必为满射；这是一种重新指定目标的操作，并没有使原来不可达的目标突然变得可达。

平方函数 $f:\mathbb{R}\to [0,\mathrm{\infty })$ 是满射：给定任意 $b\ge 0$，取 $a=\sqrt{b}$，便有 $f(a)=b$。除了 $b=0$，还可取 $a=-\sqrt{b}$，说明满射允许多重原像。同一平方公式若声明陪域为 $\mathbb{R}$，则 $-1$ 没有原像，函数不满射。

下取整映射 $\lfloor \cdot \rfloor :\mathbb{R}\to \mathbb{Z}$ 也满射。下取整的定义是取不大于输入的最大整数，所以 $\lfloor x\rfloor =n$ 恰好表示 $n\le x<n+1$。每个整数 $n$ 的整条纤维因此为 $[n,n+1)$。例如 $-1\le -0.4<0$，故 $\lfloor -0.4\rfloor =-1$，不能把它误作向零截断。给任意整数目标 $n$ 选输入 $a=n$，就已经证明满射；列出整条区间则进一步说明它远非单射。

对于投影 ${\pi }_1:A\times B\to A$，若 $B\ne \varnothing$，固定 $b_0\in B$，则每个 $a\in A$ 都有原像 $(a,b_0)$。若 $A\ne \varnothing$ 而 $B=\varnothing$，定义域为空，投影不满射；若 $A=\varnothing$，空函数 $\varnothing \to \varnothing$ 反而满射，因为没有待覆盖的目标。一般地，$\varnothing \to B$ 满射当且仅当 $B=\varnothing$。

右逆与选择的差别 ​

若有 $s:B\to A$ 满足 $f\circ s={\mathrm{id}}_B$，则 $f(s(b))=b$ 直接给出每个 $b$ 的原像，所以 $f$ 满射。这样的 $s$ 称右逆，作用是在每条纤维中指定一个代表。

满射只逐点断言代表存在；断言任意满射都能同时选出这些代表而组成函数，是与选择公理等价的全称命题。具体例子若已有规则，如平方函数选非负平方根，则不必另外调用选择公理。

满射与单射理路单射Injective function · One-to-one function不同输入必有不同输出的函数。同时成立时得到双射，才有真正的双侧逆函数理路逆函数Inverse function与双射复合后得到相应恒等映射的反向函数。。包含映射 $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{R}$ 展示另一种情况：它单射，却遗漏全部非整数，因而不是满射。

设 $f:A\to B$、$g:B\to C$ 都满射。给定任意 $c\in C$，先由 $g$ 满射得到 $b\in B$ 使 $g(b)=c$，再由 $f$ 满射得到 $a\in A$ 使 $f(a)=b$，于是 $g(f(a))=c$。这证明两个满射的复合仍满射。

若只知道 $g\circ f$ 满射，可以推出 $g$ 满射，却不能推出 $f$ 满射。例如 $f:\{0\}\to \{0,1\}$ 把 $0$ 送到 $0$，$g:\{0,1\}\to \{0\}$ 把两者都送到 $0$。复合覆盖最终目标，但前一步仍漏掉中间元素 $1$；后一步把这个遗漏遮住了。

商集理路商集Quotient set · Set of equivalence classes等价关系的所有等价类组成的集合。的自然投影是满射，因为每个等价类按定义至少包含一个元素。代数中满同态把目标识别为适当的商结构；拓扑中的商映射则在满射之外还要求特定的拓扑条件。随机变量的推前分布可以对任意可测函数定义，不能把满射误作它的前提。