单射

把函数看成编码，单射表示两个不同输入不会得到同一个码字。从一个实际出现的输出可以无歧义地恢复输入，但陪域中没有出现的输出没有原像。因而“能从输出恢复输入”必须限定在像 $f(A)$ 上，不能直接声称有定义在整个 $B$ 上的逆函数。

证明单射时，从两个输出相等出发，利用函数公式消去运算，直到得到输入相等。反证只需一对碰撞；检验许多输入未碰撞则不足以证明无限定义域上的单射性。扩大陪域不会改变既有输入的碰撞情况，而缩小定义域确实可能去除碰撞。

$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$、$f(n)=2n$ 是单射：$2m=2n$ 推出 $m=n$。它却不命中任何奇数。$x\mapsto x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不是单射，因为 $1$ 与 $-1$ 同像；限制到 $[0,\mathrm{\infty })$ 后，若 $x^2=y^2$，则 $(x-y)(x+y)=0$。当 $x+y=0$ 时两者均为零，否则 $x=y$，所以限制后的函数是单射。

线性映射

把输入的和与差都保留下来。已知输出 $(u,v)$，方程为 $x+y=u$、$x-y=v$。相加得 $2x=u+v$，相减得 $2y=u-v$，因此唯一可能的输入是

例如输出 $(5,1)$ 只能来自 $(3,2)$。这套恢复公式对所有实际输出都唯一，证明了单射；它对任意实数对 $(u,v)$ 也能产生合法输入，代回又恰好得到 $(u,v)$，所以 $T$ 还满射。

投影 $(x,y)\mapsto x$ 则丢掉第二坐标，$(0,0)$ 与 $(0,1)$ 就是一对碰撞。对一般线性映射，$T(x)=T(y)$ 等价于 $T(x-y)=0$。若只有零向量被映到零，就只能有 $x-y=0$；若非零 $v$ 被映到零，$v$ 和零向量便碰撞。因此单射恰好等价于核只有零向量。

空函数 $\varnothing \to B$ 总是单射，因为不存在两个不同输入。这个看似退化的例子会影响“单射有左逆”的准确表述。

若存在 $g:B\to A$ 使 $g\circ f={\mathrm{id}}_A$，则由 $f(x)=f(y)$ 两边施加 $g$ 得 $x=y$，故 $f$ 单射。反过来，若 $A\ne \varnothing$ 且 $f$ 单射，固定一个 $a_0\in A$，定义

当 $b=f(a)$ 时，分段规则必走第一支并返回 $a$，故 $g(f(a))=a$。只固定一个兜底元素，就在通常的 ZF 集合论中构造出了左逆，不需要对多个纤维同时任选候选。若 $A=\varnothing$，左逆存在当且仅当 $B=\varnothing$；在像上定义的逆映射则始终存在。与此不同，“每个满射都有右逆”的全局命题等价于选择公理。

单射的复合仍单射：$g(f(x))=g(f(y))$ 先由 $g$ 的单射性消去外层，再由 $f$ 的单射性消去内层。若复合是单射，只能立即推出 $f$ 单射，不能推出 $g$ 在整个定义域上单射，因为 $g$ 的碰撞可能发生在 $f(A)$ 之外。例如 $f:\{0\}\to \{0,1\}$ 是包含映射，$g:\{0,1\}\to \{0\}$ 是常值映射；$g$ 不单射，但 $g\circ f$ 是单元素集上的恒等映射。复合只能检测中间空间中真正被前一步访问的部分。

单射用于比较基数；Cantor–Schröder–Bernstein 定理理路康托–施罗德–伯恩斯坦定理Cantor–Schröder–Bernstein theorem若 A 可单射到 B 且 B 可单射到 A，则 A 与 B 之间存在双射。把双向单射提升为等势。逆函数理路逆函数Inverse function与双射复合后得到相应恒等映射的反向函数。若要定义在整个陪域上，还需满射。代数中的单射同态称为嵌入，但对一般拓扑空间，连续单射未必是拓扑嵌入，还须检查到其像的逆映射连续。