形式陈述

函数 $f:A\to B$ 是单射，当且仅当

$$\mathrm{\forall }x,y\in A(f(x)=f(y)\Rightarrow x=y).$$

等价地，不同输入必有不同输出；每个 $b\in B$ 至多有一个原像。

直觉

单射不发生输入碰撞，因此输出保留区分输入所需的信息。它不要求覆盖整个陪域。

例子与边界

$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},f(n)=2n$ 是单射但不是满射。$x\mapsto x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不是单射，在 $[0,\mathrm{\infty })$ 上则是。要否定单射，只需找到 $x\ne y$ 且 $f(x)=f(y)$。

推论与应用

单射用于嵌入结构、比较基数和证明表示唯一性。若存在 $g:B\to A$ 使 $g\circ f={\mathrm{id}}_A$，则 $f$ 必为单射。反过来，当 $A\ne \varnothing$ 时，每个单射 $f:A\to B$ 在 ZF 中都有左逆：固定一个 $a_0\in A$，在 $f(A)$ 上取唯一原像，在其余点取 $a_0$，不需要选择公理。若 $A=\varnothing$，左逆存在当且仅当 $B=\varnothing$。选择公理对应的经典全局命题是“每个满射都有右逆”。

参考资料

• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, Chapter 12。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Functions chapter。