单射

单射不发生输入碰撞，因此输出保留区分输入所需的信息。它不要求覆盖整个陪域。

单射要求不同输入不能被压到同一输出，因此输出保留足够信息以恢复输入。它不要求覆盖整个陪域；未被命中的元素与信息保真无关。等价地，每个输出的原像纤维至多含一个元素，或存在定义在像上的左逆。

$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},f(n)=2n$ 是单射但不是满射。$x\mapsto x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不是单射，在 $[0,\mathrm{\infty })$ 上则是。要否定单射，只需找到 $x\ne y$ 且 $f(x)=f(y)$。

线性映射

是单射：若 $T(x,y)=T(x^{\prime },y^{\prime })$，两坐标相加、相减即可得到 $x=x^{\prime }$、$y=y^{\prime }$。投影 $(x,y)\mapsto x$ 则不是单射，因为整条竖直线具有同一像。单射只关心不同输入是否碰撞，扩大陪域不会破坏单射性；限制定义域却可能把原本有碰撞的函数公理库函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。变成单射。

单射用于嵌入结构、比较基数和证明表示唯一性。若存在 $g:B\to A$ 使 $g\circ f={\mathrm{id}}_A$，则 $f$ 必为单射。反过来，当 $A\ne \varnothing$ 时，每个单射 $f:A\to B$ 在 ZF 中都有左逆：固定一个 $a_0\in A$，在 $f(A)$ 上取唯一原像，在其余点取 $a_0$，不需要选择公理。若 $A=\varnothing$，左逆存在当且仅当 $B=\varnothing$。选择公理对应的经典全局命题是“每个满射都有右逆”。

逆函数公理库逆函数Inverse function与双射复合后得到相应恒等映射的反向函数。存在需同时单射与满射，Cantor–Schröder–Bernstein 定理公理库康托–施罗德–伯恩斯坦定理Cantor–Schröder–Bernstein theorem若 A 可单射到 B 且 B 可单射到 A，则 A 与 B 之间存在双射。用双向单射推出等势。代数中同态单射称嵌入，线性映射的单射性由核是否为零判定。