轨道–稳定子定理

逐个尝试所有群元素时，同一个结果恰好对应一整块陪集。若 $g$ 把 $x$ 送到某点，那么所有 $gh$（其中 $h\in G_x$）都会先固定 $x$，再由 $g$ 把它送到该点；而送到该点的群元素也都具有这种形式。

有限情形下，每块都有 $|G_x|$ 个元素，把总动作数除以每个结果的重复次数，便得到不同结果数。

双射的完整证明 ​

单位元固定 $x$。若 $h,k$ 固定 $x$，则 $(hk)\cdot x=h\cdot (k\cdot x)=x$；由 $h\cdot x=x$ 两边作用 $h^{-1}$，也得 $h^{-1}\cdot x=x$。故 $G_x$ 是子群。

对任意 $g,h\in G$，有

这个等价链同时说明映射不依赖代表元，以及不同陪集不会映到同一点；轨道定义又保证满射。最后，每个陪集通过 $k\mapsto gk$ 与 $G_x$ 等大，有限计数公式随即成立。

正方形的对称计数 ​

用 $D_4$ 表示正方形的八个对称变换：四个旋转与四个反射。它作用于四个顶点，固定一个顶点 $v$ 后，只有恒等变换与经过 $v$ 和对角顶点的反射仍固定 $v$。所以 $|(D_4{)}_v|=2$，而轨道包含四个顶点，确有 $8=2\cdot 4$。

若把正方形中心 $c$ 也加入被作用的集合，五个点分成两条轨道：四个顶点组成一条，中心单独组成一条。中心的稳定子是整个 $D_4$，对应 $8=8\cdot 1$；顶点仍对应 $8=2\cdot 4$。公式逐条计算轨道，传递作用时唯一的轨道才是整个 $X$。

对 $n\ge 1$，$S_n$ 作用于 $\{1,\dots ,n\}$ 时，固定 $1$ 的置换可任意排列其余 $n-1$ 个点，故公式成为 $n!=n(n-1)!$。

无限群同样可以用陪集双射计算轨道。例如 $\mathbb{Z}$ 通过加法模 $m$ 作用在 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 上，其中 $m\ge 1$。点 $\overline{0}$ 的稳定子是 $m\mathbb{Z}$，轨道含全部 $m$ 个剩余类，因此 $[\mathbb{Z}:m\mathbb{Z}]=m$。尽管群与稳定子都无限，陪集数仍给出有限的轨道大小。

有限群作用时，每条轨道的大小整除群阶。若作用自由，每个稳定子都平凡，每条轨道就有 $|G|$ 个点；当 $X$ 也有限时，对轨道大小求和得到 $|G|\mid |X|$。

在共轭作用 $g\cdot x=gx{g}^{-1}$ 下，稳定子条件等价于 $gx=xg$，因此稳定子是中心化子理路中心化子与群中心Centralizer · Center of a group与指定元素集合逐一交换的群元素构成中心化子；与全群交换的部分构成群中心。，轨道是共轭类理路共轭类Conjugacy class群中元素在内自同构下形成的轨道，刻画改变群内坐标后保持不变的元素类型。。

把有限群按这些共轭轨道分块并对大小求和，就得到类方程理路类方程Class equation of a finite group将有限群按共轭类分拆，以中心大小与中心化子指数表达群的阶。。有限群在有限集合上的作用还可以结合不动点计数，得到Burnside 引理理路Burnside 引理Burnside's lemma · Cauchy–Frobenius lemma有限群作用的轨道数等于各群元素不动点数的平均值。。轨道–稳定子定理给出单条轨道的大小，Burnside 引理统计轨道总数。