轨道–稳定子定理

从 $x$ 出发，不同群元素可能得到同一结果；造成这种重复的恰是相差一个稳定子元素的群元素。于是“全部变换数”按稳定子大小分组，每组对应轨道中的一个点。从群到某点轨道的映射 $g\mapsto g\cdot x$ 会把恰好相差一个稳定子元素的群元素送到同一点。因此轨道不是随意的像集合，而与稳定子的左陪集一一对应。有限情形下，群的“动作自由度”被分成移动点的轨道大小与保持点不动的对称数。

$S_n$ 自然作用于 $\{1,\dots ,n\}$ 时，$1$ 的轨道有 $n$ 个点，稳定子由固定$1$ 的置换组成，大小为 $(n-1)!$，故 $n!=n(n-1)!$。群无限时仍应使用陪集—轨道双射；把无限基数公理库基数Cardinality · Size of a set忽略元素性质与排列，只用双射和单射刻画集合的大小及其比较。直接当普通整数相除并无意义。

正方形对称群 $D_4$ 阶为 $8$，作用于四个顶点。某顶点轨道大小为 $4$，稳定它的元素只有恒等与经过该顶点和对角顶点的反射，稳定子阶为 $2$，故 $8=4\cdot 2$。若作用不传递，定理只对单个轨道成立，不能把整个集合大小代入。

在共轭作用下，元素 $x$ 的稳定子是中心化子公理库中心化子与群中心Centralizer · Center of a group与指定元素集合逐一交换的群元素构成中心化子；与全群交换的部分构成群中心。 $C_G(x)$，相应轨道是共轭类公理库共轭类Conjugacy class群中元素在内自同构下形成的轨道，刻画改变群内坐标后保持不变的元素类型。，故类大小为 $[G:C_G(x)]$；有限群的类方程公理库类方程Class equation of a finite group将有限群按共轭类分拆，以中心大小与中心化子指数表达群的阶。正是把这些轨道求和。定理由群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。与陪集公理库陪集Coset将子群整体左移或右移所得的集合，也是群按该子群分块的等价类。的对应得到，并立即推出轨道大小整除有限群阶。它还用于 Burnside 计数、Sylow 子群作用与几何对称；固定点较多意味着稳定子较大。