形式陈述

设群 $G$$G$ 作用于集合 $X$$X$，并固定 $x\in X$$x\in X$。稳定子

$$ G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\} $$$$G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}$$

是 $G$$G$ 的子群，且映射 $gG_x\mapsto g\cdot x$$g{G}_x\mapsto g\cdot x$ 给出左陪集集合 $G/G_x$$G/G_x$ 与轨道 $G\cdot x$$G\cdot x$ 的双射。因此

$$ |G\cdot x|=[G:G_x], $$$$|G\cdot x|=[G:G_x],$$

若 $G$$G$ 有限，则 $|G|=|G_x|\,|G\cdot x|$$|G|=|G_x||G\cdot x|$。

直觉

从 $x$$x$ 出发，不同群元素可能得到同一结果；造成这种重复的恰是相差一个稳定子元素的群元素。于是“全部变换数”按稳定子大小分组，每组对应轨道中的一个点。

例子与边界

$S_n$$S_n$ 自然作用于 $\{1,\ldots,n\}$$\{1,\dots ,n\}$ 时，$1$$1$ 的轨道有 $n$$n$ 个点，稳定子由固定 $1$$1$ 的置换组成，大小为 $(n-1)!$$(n-1)!$，故 $n!=n(n-1)!$$n!=n(n-1)!$。群无限时仍应使用陪集—轨道双射；把无限基数直接当普通整数相除并无意义。

推论与应用

在共轭作用下，元素 $x$$x$ 的稳定子是中心化子 $C_G(x)$$C_G(x)$，故共轭类大小为 $[G:C_G(x)]$$[G:C_G(x)]$。该定理是类方程、Burnside 引理和对称对象计数的基础。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §4.1.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, Chapters 6–7.