形式陈述

集合 $A,B$$A,B$ 等势，记 $|A|=|B|$$|A|=|B|$，当且仅当存在双射 $A\to B$$A\to B$。记 $|A|\le |B|$$|A|\le |B|$ 表示存在单射 $A\to B$$A\to B$；基数是这种等势意义下的集合大小。

直觉

基数只回答“有多少个”，忽略元素是什么以及如何排列。对无限集合，真子集可以与全集等势，这是有限直觉失效的核心现象。

例子与边界

$\mathbb N$$\mathbb{N}$ 与偶数集通过 $n\mapsto2n$$n\mapsto 2n$ 等势；$\mathbb N\times\mathbb N$$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ 仍可数，而 $\mathcal P(\mathbb N)$$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 不可数。Cantor–Schröder–Bernstein 定理说明双向单射足以推出双射。

推论与应用

基数比较用于有限计数、可数性、状态空间规模和编码。它与序数不同：基数忽略顺序，序数记录良序类型。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §§22–25。
• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, Chapter 14。