基数

基数把“有多少个”化成一一配对。有限情形中，配对与逐个计数给出同一答案；无限情形中，配对比“最后数到几”更可靠，因为枚举可能没有终点。

它有意丢弃结构。元素是什么、怎样排列、相距多远、带什么运算，都不影响基数。自然数与偶数经 $n\mapsto 2n$ 等势，尽管偶数只是自然数的真子集；一条线与一个平面也可以等势，尽管它们的几何维数不同。基数回答的是裸集合大小，其他结构必须另行比较。

$\mathbb{Z}$ 可按 $0,1,-1,2,-2,\dots$ 与 $\mathbb{N}$ 配对，$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ 也可沿坐标和的对角线编号。于是整数、有理数和自然数虽然表示方式不同，却都具有基数 ${\mathrm{\aleph }}_0$，都是可数集理路可数集Countable set · At most countable能单射进自然数集的集合；等价地，它有限或能按自然数无重复枚举。。

对角线论证理路康托对角线论证Cantor diagonal argument通过在第 n 位偏离第 n 个候选对象构造未被枚举对象的方法。表明，幂集打破这种吸收现象。对任意 $A$，映射 $a\mapsto \{a\}$ 给出 $A\hookrightarrow \mathcal{P}(A)$；若假设有满射 $f:A\to \mathcal{P}(A)$，对角集合 $D=\{a\in A:a\notin f(a)\}$ 不可能等于任何 $f(a)$。若 $D=f(d)$，定义给出 $d\in D⟺d\notin D$，矛盾。单射先证明“不小于”，不存在满射再排除双射，二者合起来才得到

特别地，$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 与 $\mathbb{R}$ 是不可数集理路不可数集Uncountable set无法单射进自然数集的集合；任何自然数编号的名单都会遗漏成员。。无限大小不止一种，而且没有最大基数。

三个边界值得分开。仅知两个集合都无限，不能推出等势；$\mathbb{N}$ 与 $\mathbb{R}$ 就是反例。没有选择公理时，$|A|\le |B|$ 的否定也不能自动改写成 $|B|<|A|$，因为两边可能不可比较。最后，与某个真子集等势的集合必然无限，这种性质称为 Dedekind 无限；从“无限”反推 Dedekind 无限在 ZF 中可能失败，需要额外的选择原则。

有限情形中，双射法把组合对象转成更易计数的编码；可数与不可数的分界则支持存在性论证，例如程序至多可数而二进制语言不可数，因此必有不可判定语言。

基数算术理路基数算术Cardinal arithmetic用不交并、笛卡尔积和函数集定义基数的加法、乘法与指数运算。用不交并、笛卡尔积和函数集定义加法、乘法与幂。阿列夫层级理路阿列夫层级Aleph hierarchy沿序数枚举可良序的无限基数，区分后继、极限与幂集步骤，并说明选择公理和共尾数的作用。给可良序的无限基数编号，连续统假设理路连续统假设Continuum hypothesis · CH断言连续统恰为最小不可数基数、且相对于 ZFC 独立的集合论命题。再追问 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 位于哪一级。

与基数平行，序数理路序数Ordinal由属于关系良序且具有传递性的集合，表征良序的同构类型。记录良序的形状。$\omega$ 与 $\omega +1$ 等势，却有不同序型；基数加法可交换，序数加法通常不可交换。两种概念在初始序数处共享代表，但承担的比较任务不同。

对具有可描述结构的实数集，基数还受到额外限制。解析集的完美集定理理路解析集的完美集定理Perfect set theorem for analytic sets不可数解析集包含一份 Cantor 集；通过二叉分裂并保留闭见证，证明大小二分而非测度或内部结论。说明不可数解析集包含一份 Cantor 集，因此基数恰为连续统；它只约束解析集合，并不证明所有实数子集都满足连续统假设。