形式陈述

在 von Neumann 表示中，集合 $\alpha$$\alpha$ 称为序数，若它是传递集，并且属于关系 $\in$$\in$ 在 $\alpha$$\alpha$ 上给出严格良序。于是每个 $\beta\in\alpha$$\beta \in \alpha$ 本身也是序数，且

$$ \alpha=\{\beta:\beta<\alpha\},\qquad \beta<\alpha\Longleftrightarrow\beta\in\alpha. $$$$\alpha =\{\beta :\beta <\alpha \},\beta <\alpha ⟺\beta \in \alpha .$$

每个良序集都与唯一序数序同构，因此序数刻画良序的同构类型。序数之间由 $\in$$\in$ 全序；任意序数集合 $A$$A$ 的上确界为 $\sup A=\bigcup A$$supA=\bigcup A$。全部序数形成真类 $\mathrm{Ord}$$\mathrm{Ord}$，而不是一个集合。

直觉

序数不只记录集合有多少元素，还记录元素按良序排列的先后形状。von Neumann 表示把“较早阶段的全集”直接作为当前阶段，使次序与集合隶属成为同一件事。

例子与边界

有限序数满足 $0=\varnothing$$0=\varnothing$、$1=\{0\}$$1=\{0\}$、$2=\{0,1\}$$2=\{0,1\}$；第一个无限序数 $\omega$$\omega$ 是全部有限序数的集合。$\omega+1$$\omega +1$ 与 $\omega$$\omega$ 等势，却不是同一序数：前者在所有自然数之后还有一个末元素。传递集不一定是序数。令 $0=\varnothing$$0=\varnothing$、$1=\{0\}$$1=\{0\}$、$2=\{0,1\}$$2=\{0,1\}$，则 $T=\{0,1,2,\{1\}\}$$T=\{0,1,2,\{1\}\}$ 是传递集，但 $2$$2$ 与 $\{1\}$$\{1\}$ 在 $\in$$\in$ 下不可比较，因此 $\in$$\in$ 不在 $T$$T$ 上构成线性良序；必须同时满足传递性和良序条件。序数比较的是良序型，不应与基数等同。

推论与应用

序数为超限归纳、超限递归、集合的秩层级和基数的初始序数表示提供统一索引。它还把“在所有较早阶段之后再做一步”形式化，是集合论中构造无限层级的基本坐标。

参考资料

• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003，Ch. 2, ordinals, well-orders, and order types。
• Kenneth Kunen, Set Theory, College Publications, 2011，Ch. I, ordinals and well-ordered sets。