序数

序数记录一个良序集合的排列类型：不仅关心有多少元素，还关心每个元素之前有哪些元素。von Neumann 表示把每个序数定义为所有更小序数的集合，也就是把“较早阶段的全集”直接作为当前阶段，使 $\alpha <\beta$ 与 $\alpha \in \beta$ 合一。基数忽略顺序，序数保留顺序，因此同一可数基数上仍有许多不同序型。

有限序数满足 $0=\varnothing$、$1=\{0\}$、$2=\{0,1\}$；第一个无限序数 $\omega$ 是全部有限序数的集合。$\omega +1$ 与 $\omega$ 等势，却不是同一序数：前者在所有自然数之后还有一个末元素。传递集不一定是序数。令 $0=\varnothing$、$1=\{0\}$、$2=\{0,1\}$，则 $T=\{0,1,2,\{1\}\}$ 是传递集，但 $2$ 与 $\{1\}$ 在 $\in$ 下不可比较，因此 $\in$ 不在 $T$ 上构成线性良序；必须同时满足传递性和良序条件。序数比较的是良序型，不应与基数等同。

$\omega$ 与 $\omega \cdot 2$ 都是可数序数，也都没有最大元，但它们的良序型仍不同。在 $\omega$ 中，每个元素之前只有有限多个元素；在 $\omega \cdot 2$ 中，第二个 $\omega$ 块的第一个元素之前已经有完整的无限块。这个性质由序同构保持，所以二者不可能同序。反过来，把自然数按通常次序完全倒转并不会得到序数：倒序中没有最小元素，因而不是良序。序数要求的不是“能把元素排成一列”，而是每个非空子集都确实拥有最早元素。

良序定理公理库良序定理Well-ordering theorem · Zermelo's theorem每个集合都能赋予一个使任意非空子集具有最小元的全序。使任意集合可与某个序数等势，其中最小者给出该基数的初始序数。序数把“在所有较早阶段之后再做一步”形式化，为 超限归纳公理库超限归纳法Transfinite induction若性质在每个序数处由所有更小序数上的成立推出，则它对全部序数成立。、超限递归、集合公理库集合Set由成员完全决定的数学对象；成员关系给出集合的内容，额外结构须另行指定。的秩层级、阿列夫编号以及证明终止的秩函数提供统一索引，是集合论构造无限层级的基本坐标。