连续统假设

康托对角线论证公理库康托对角线论证Cantor diagonal argument通过在第 n 位偏离第 n 个候选对象构造未被枚举对象的方法。已经确定

采用选择公理后，${\mathrm{\aleph }}_1$ 是 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 之后的下一台阶，所以 ${\mathrm{\aleph }}_1\le \mathfrak{c}$。CH 只问幂集这一步是否恰好落在下一台阶；它不质疑实数不可数，也不声称所有无限集合都至多有连续统大小。

可以把问题看成实数子集的“中间尺度”是否存在。CH 成立时，每个不可数实数子集都有完整连续统大小；CH 失败时，良序化 $\mathbb{R}$ 后取最前面的 ${\mathrm{\aleph }}_1$ 个实数，便得到基数严格介于 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 与 $\mathfrak{c}$ 之间的子集。

部分集合类无需 CH 就呈现“两级”现象。每个不可数闭集都含完美子集，因而具有基数 $\mathfrak{c}$；结论还推广到 Borel 集和解析集。所以潜在的中间大小实数集必须比这些规则定义的集合更复杂。CH 的困难落在任意子集，而不是常见区间或可描述集合上。

CH 失败也不允许连续统任意取值。由基数算术公理库基数算术Cardinal arithmetic用不交并、笛卡尔积和函数集定义基数的加法、乘法与指数运算。中的 König 型约束，$\mathrm{cf}(2^{{\mathrm{\aleph }}_0})>{\mathrm{\aleph }}_0$，所以连续统不能等于共尾数为 $\omega$ 的 ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$。强迫能够实现许多符合这些约束的值，例如在适当相对一致性前提下令 $\mathfrak{c}={\mathrm{\aleph }}_2$。

独立性是相对某个形式理论的结论。它不表示 CH 在同一模型中“既真又假”：每个 ZFC 模型内部都有确定答案，只是不同模型的答案可以不同。它也不把 CH 变成定义；采纳 CH 或 $\mathrm{\neg }$CH 会产生性质不同的扩展理论。

CH 把幂集公理库幂集Power set把 A 的每一种子集选择提升为元素所得的集合，记作 P(A)。、阿列夫层级和独立性集中到一个命题上。Gödel 的内模型方法与 Cohen 的强迫法由此成为现代集合论的两项基本工具，并清楚划出ZF 集合论公理库ZF 集合论公理系统ZF set theory · Zermelo–Fraenkel set theory以成员关系为唯一非逻辑关系，并受控规定集合存在性的标准一阶公理系统。加选择公理公理库选择公理Axiom of choice · AC把任意集合族中逐个存在的元素同时汇成一个选择函数的公理。之后仍然存在的决定性边界。

假设 CH 后，可把实数按 ${\omega }_1$ 型良序，并沿 ${\omega }_1$ 做逐阶段构造；假设 $\mathrm{\neg }$CH 后，中间大小的实数子集和相关基数不变量会出现。分析、拓扑与集合论中的若干命题会随这项选择改变，因此使用 CH 的证明必须把它明确列作假设。

GCH 更进一步，把每个阿列夫处的幂指定为下一阿列夫，但不会让所有基数算术公理库基数算术Cardinal arithmetic用不交并、笛卡尔积和函数集定义基数的加法、乘法与指数运算。问题消失；奇异基数、共尾数和更高幂函数仍保留精细结构。