形式陈述

连续统假设（CH）断言

$$ 2^{\aleph_0}=|\mathcal P(\mathbb N)|=\aleph_1, $$$$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}=|\mathcal{P}(\mathbb{N})|={\mathrm{\aleph }}_1,$$

等价地，不存在基数严格介于可数基数 $\aleph_0$${\mathrm{\aleph }}_0$ 与实数连续统 $\mathfrak c$$\mathfrak{c}$ 之间的集合。Gödel 证明若 ZF 一致，则 ZFC+CH 一致；Cohen 证明若 ZFC 一致，则 ZFC+$\neg$$\mathrm{\neg }$CH 一致。因此在通常的一致性假设下，CH 不能由 ZFC 证明，也不能由 ZFC 反驳。广义连续统假设（GCH）把等式推广为 $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$$2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$。

直觉

Cantor 定理保证幂集一定跳到更大的基数；CH 追问从可数集取幂集时，这一跳是否恰好只跨过一个阿列夫台阶。

例子与边界

CH 不是 $|\mathbb R|=\aleph_0$$|\mathbb{R}|={\mathrm{\aleph }}_0$，也不是“实数可数”；它断言 $|\mathbb R|$$|\mathbb{R}|$ 是最小不可数基数。独立性是关于形式理论的相对结论，不等于命题毫无数学意义，也不表示在每个集合论宇宙中同时真和假：不同 ZFC 模型可给出不同答案。强迫可构造 $2^{\aleph_0}$$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 取多种允许值的模型，但其可能值仍受 Cantor 定理和共尾数等约束。把 CH 当作定义或已证定理都不正确；它是可额外采纳或拒绝的集合论原则。

推论与应用

CH 是独立性、内模型和强迫理论的核心试验场，也展示了公理选择会真实改变无限组合与分析对象的结构结论。

参考资料

• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003，Chs. 13–16, constructibility, forcing, and independence of CH。
• Kenneth Kunen, Set Theory, College Publications, 2011，Chs. II–IV, CH, constructible universe, and forcing independence。