形式陈述

初始序数是与任何更小序数都不等势的序数。阿列夫层级以序数递归枚举无限初始序数：$\aleph_0=|\omega|$${\mathrm{\aleph }}_0=|\omega |$；$\aleph_{\alpha+1}$${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ 是严格大于 $\aleph_\alpha$${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ 的最小基数；对极限序数 $\lambda$$\lambda$，

$$ \aleph_\lambda=\sup_{\alpha<\lambda}\aleph_\alpha. $$$${\mathrm{\aleph }}_{\lambda }=\underset{\alpha <\lambda }{sup}{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }.$$

在选择公理等价的良序定理下，每个无限基数都唯一等于某个 $\aleph_\alpha$${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$。记号有时把 $\omega_\alpha$${\omega }_{\alpha }$ 用作代表 $\aleph_\alpha$${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ 的初始序数，必须区分序数对象与其基数。

直觉

阿列夫层级把所有可良序的无限大小排成一条连续索引链：每一步取下一个更大的大小，极限阶段取此前所有大小的上确界。

例子与边界

$\aleph_1$${\mathrm{\aleph }}_1$ 是第一个不可数基数，$\omega_1$${\omega }_1$ 是第一个不可数序数；二者在常见记号下分别是基数和其初始序数代表。$\aleph_\omega$${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ 不是 $\aleph_0$${\mathrm{\aleph }}_0$ 的有限次后继，而是 $\aleph_0,\aleph_1,\ldots$${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,\dots$ 的上确界。不能把 $\aleph_{\alpha+1}$${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ 解释成 $\aleph_\alpha+1$${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+1$ 的基数加法：对无限基数后者仍等于 $\aleph_\alpha$${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$。在不假设选择公理时，并非每个集合都可良序，因此“所有无限基数都是阿列夫”不能直接成立。

推论与应用

阿列夫层级为连续统假设、共尾数、正规基数和模型大小提供统一坐标，也把序数递归转化为对无限基数的系统枚举。

参考资料

• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003，Ch. 5, initial ordinals and the aleph sequence。
• Kenneth Kunen, Set Theory, College Publications, 2011，Ch. I, alephs and well-orderable cardinals。