阿列夫层级

同一个无限大小常有许多不同序型：$\omega$、$\omega +1$ 与 $\omega \cdot 2$ 都可数。初始序数从每个等势类中挑出最小序数，避免重复记账；阿列夫下标再回答“这是第几个可良序无限大小”。

递归有两种前进节奏。后继阶段跳到下一个严格更大的基数；极限阶段没有“前一项”，便把此前全部台阶收拢为上确界。得到的是严格递增的良序坐标轴，不是对若干著名无限集合的零散命名。

层级起点 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 是可数无限集的基数。下一层 ${\mathrm{\aleph }}_1$ 是最小不可数基数；相应序数 ${\omega }_1$ 恰由全体可数序数组成。每个 $\alpha <{\omega }_1$ 都可数，但 ${\omega }_1$ 本身不可数，否则它会出现在自己所收集的可数序数范围内。

第一个极限下标给出

它大于每个 ${\mathrm{\aleph }}_n$，却不是任何有限次后继步骤的结果。序列 $⟨{\mathrm{\aleph }}_n:n<\omega ⟩$ 在其中共尾，所以 ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ 是奇异基数的标准例子。

下标后继不能和基数加一混淆：

左式移到下一基数，右式只给一个无限集合添一个元素。另一条边界来自选择公理公理库选择公理Axiom of choice · AC把任意集合族中逐个存在的元素同时汇成一个选择函数的公理。：阿列夫递归在 ZF 中照常存在，但不可良序化集合的基数不等于任何阿列夫，也可能无法与某些阿列夫比较。此时 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 甚至未必能写成 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$。

阿列夫层级给无限基数问题提供统一坐标。连续统假设公理库连续统假设Continuum hypothesis · CH断言连续统恰为最小不可数基数、且相对于 ZFC 独立的集合论命题。问 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 是否恰落在 ${\mathrm{\aleph }}_1$；广义连续统假设把同一问题放到每个 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ 上。基数算术公理库基数算术Cardinal arithmetic用不交并、笛卡尔积和函数集定义基数的加法、乘法与指数运算。则研究加、乘和幂如何沿层级移动。

共尾数进一步区分层级中的台阶。在 ZFC 中，后继基数 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ 为正规基数，而 ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ 的共尾数是 $\omega$，所以它是奇异基数。模型论也用 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ 报告语言与模型大小；这时阿列夫是规模刻度，序数算术公理库序数算术Ordinal arithmetic通过超限递归定义的序数加法、乘法与幂运算，通常不满足交换律。仍负责记录良序过程本身。