阿列夫层级

排得更长，不一定装得更多 ​

序数关心元素的排列次序，基数只问能否建立双射。把自然数排完后再加一个末尾元素，得到序数 $\omega +1$；把两列自然数首尾接起来，得到 $\omega \cdot 2$。它们与 $\omega$ 的顺序结构不同，底层集合却都能重新编号为自然数，所以

${\mathrm{\aleph }}_1$ 跨过的不是某一种更长的可数排列，而是全部可数大小。与它对应的初始序数 ${\omega }_1$ 是所有可数序数组成的序数：每个 $\alpha <{\omega }_1$ 都可数，${\omega }_1$ 本身却不可数。

教材常写 ${\omega }_{\alpha }$ 强调序数结构，写 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ 强调基数大小。在把基数认作初始序数的约定下，它们可由同一个集合代表；运算意义仍须区分。例如序数加法 $\omega +1>\omega$，无限基数加法却有 ${\mathrm{\aleph }}_0+1={\mathrm{\aleph }}_0$。

下一个大小为什么存在 ​

Hartogs 引理说明：对任意集合 $X$，总有一个序数不能单射进 $X$。取这样的最小序数，得到不能单射进 $X$ 的最小初始序数；当 $X$ 已可良序时，它恰好代表严格超过 $|X|$ 的下一个基数。对已有的可良序基数应用它，便能定义后继 ${\kappa }^{+}$。[1]

在极限下标 $\lambda$ 处没有“前一项”。这时把所有 $\beta <\lambda$ 的初始序数取并，得到它们的上确界。例如

它比每个有限下标的 ${\mathrm{\aleph }}_n$ 都大，却是支配这条上升链的最小基数。阿列夫层级遍历所有序数下标，构成真类；不存在一个集合把全部阿列夫数收齐。

后继步骤和幂集步骤不同 ​

由 Cantor 定理，$2^{\kappa }>\kappa$，所以在 ZFC 中

这个不等式给出幂集大小的下界：${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ 是下一个基数，$2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$ 是幂集的基数。连续统假设理路连续统假设Continuum hypothesis · CH断言连续统恰为最小不可数基数、且相对于 ZFC 独立的集合论命题。正是额外主张 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$；广义连续统假设对每个无限基数提出同样的相等式。

为了单独记录不断取幂集的结果，还可定义 beth 层级：${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0$、${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }}$，极限处取上确界。aleph 记录大小的先后顺序，beth 记录幂集运算走到了哪里。[1]

进阶：极限基数和正则性是两条分类轴 ​

共尾数回答另一个问题：需要多长的递增序列，才能从下方逼近一个基数？

${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ 能被可数序列 ${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,\dots$ 从下方逼近，称其共尾数为 $\omega$，记作

这样的无限基数称为奇异基数。一个基数的共尾数等于自身时，称其为正则基数。共尾数衡量“至少要多少级台阶才能逼近它”，与该基数总共有多少元素是不同问题。

在 ZFC 中，每个无限后继基数 ${\kappa }^{+}$ 都正则。证明的关键是：若至多 $\kappa$ 个小于 ${\kappa }^{+}$ 的序数就能共尾，每个序数至多有 $\kappa$ 个元素，它们的并也至多有 $\kappa \cdot \kappa =\kappa$ 个元素，不可能覆盖 ${\kappa }^{+}$。这里使用了选择公理支持的无限基数算术理路基数算术Cardinal arithmetic用不交并、笛卡尔积和函数集定义基数的加法、乘法与指数运算。。

因此“后继”足以推出“正则”，而“极限”本身不能决定正则性：${\mathrm{\aleph }}_0$ 是正则的极限基数，${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ 是奇异的极限基数。

阿列夫记号把集合大小与具体对象解耦。例如，在 ZFC 中证明一个集合不可数，就知道它至少有 ${\mathrm{\aleph }}_1$ 个元素；这并不直接告诉我们它是否与实数等势，因为还要确定连续统所在的层级。

后继步骤适合表达“严格超过已知大小的最小规模”，极限步骤适合表达“一串越来越大的规模的共同上界”。把这两种步骤分开，才能读懂超限构造中为何有的阶段添加新层级，有的阶段只把此前阶段合并。