序数算术

运算保留的是排列结构 ​

自然数的加法只需关心元素总数。序数理路序数Ordinal由属于关系良序且具有传递性的集合，表征良序的同构类型。还记录这些元素怎样排成良序，所以“放在前面”与“放在后面”可以产生不同结果。

$\omega$ 是自然数从小到大排列的序型。在前面加一个点，仍可重新编号为自然数；在后面加一个点，却会出现原来没有的最后一个元素：

1 + ω     ● | 0 → 1 → 2 → 3 → ···
ω + 1     0 → 1 → 2 → 3 → ··· | ●

因此 $1+\omega =\omega$，而 $\omega +1>\omega$。两边底层集合都可数，差异来自顺序而不是基数。

序数加法 $\alpha +\beta$ 就是先排一份 $\alpha$，再接一份 $\beta$。乘法 $\alpha \cdot \beta$ 则是按 $\beta$ 的顺序，依次排放 $\alpha$ 的副本。因而

左式是可数多个二元小块，依次编号仍是一条自然数序列；右式是两整条自然数序列前后相接。[1]

哪些代数规则仍然成立 ​

序数加法、乘法都满足结合律，因此不改变顺序的重新分组是合法的。乘法还满足

这条分配律的含义很直接：先排 $\beta$ 份 $\alpha$，再排 $\gamma$ 份，等同于一次排 $\beta +\gamma$ 份。应记住公式本身，而不要只凭“左分配”“右分配”的名称判断位置。

另一侧一般不成立。例如

前一个式子展开为 $(\omega +1)+(\omega +1)$，中间的 $1+\omega$ 被吸收为 $\omega$。这不是有限代数中可以逐项分配的乘法。

消去律也有方向。固定 $\alpha$ 时，$\alpha +\beta$ 对 $\beta$ 严格递增，所以

公共的右加数却不能一般消去，因为 $1+\omega =2+\omega$。因此序数不构成通常意义的加法群；不能用一套无条件的减法规则撤销任意加法。

Cantor 标准形怎样帮助计算 ​

每个非零序数都唯一写成有限和

其中 $c_i$ 是正整数，乘法写在 ${\omega }^{{\beta }_i}$ 的右边。这是 Cantor 标准形。它把一个良序分解为由大到小的主层级，但加法仍然是有序拼接，不是交换多项式的加法。[1][2]

例如

右边的新 $\omega$ 块使左边末尾的有限段 $5$ 被吸收；原有的三个 $\omega$ 块与新来的两个合成五个，最后接上有限尾部 $7$。若右加数改成 ${\omega }^3$，左边整个序数都会被更高层级吸收，结果为 ${\omega }^3$。

标准形既能支持计算，也能提醒读者：某个有限尾部是否保留，取决于后面接上的序型，而不是只取决于这个尾部自身的大小。

用序数描述下降过程 ​

序数算术可以为多层循环、递归简化或证明变换构造下降量。比如用 $\omega \cdot a+b$ 表示两层优先级：$a,b$ 为自然数，外层 $a$ 下降一次，即使内层 $b$ 重新变得很大，整个序数也严格下降。

由于良序不存在无限严格下降链，若每一步都使这样的量下降，就能证明过程终止。这种用法与超限归纳理路超限归纳法Transfinite induction若性质在每个序数处由所有更小序数上的成立推出，则它对全部序数成立。相连；它给出终止性的结构证据，却不自动给出实际运行步数的数值上界。序数记录“哪个层级先下降”，时间复杂度还需要额外估计。