形式陈述

序数运算按第二个参数超限递归定义：

$$ \begin{aligned} \alpha+0&=\alpha,&\alpha+(\beta+1)&=(\alpha+\beta)+1,& \alpha+\lambda&=\sup_{\beta<\lambda}(\alpha+\beta),\\ \alpha\cdot0&=0,&\alpha\cdot(\beta+1)&=\alpha\cdot\beta+\alpha,& \alpha\cdot\lambda&=\sup_{\beta<\lambda}\alpha\cdot\beta,\\ \alpha^0&=1,&\alpha^{\beta+1}&=\alpha^\beta\cdot\alpha,& \alpha^\lambda&=\sup_{\beta<\lambda}\alpha^\beta \end{aligned} $$$$\begin{array}{rlrlrl}\alpha +0& =\alpha ,& \alpha +(\beta +1)& =(\alpha +\beta )+1,& \alpha +\lambda & =\underset{\beta <\lambda }{sup}(\alpha +\beta ),\\ \alpha \cdot 0& =0,& \alpha \cdot (\beta +1)& =\alpha \cdot \beta +\alpha ,& \alpha \cdot \lambda & =\underset{\beta <\lambda }{sup}\alpha \cdot \beta ,\\ {\alpha }^0& =1,& {\alpha }^{\beta +1}& ={\alpha }^{\beta }\cdot \alpha ,& {\alpha }^{\lambda }& =\underset{\beta <\lambda }{sup}{\alpha }^{\beta }\end{array}$$

其中 $\lambda$$\lambda$ 为非零极限序数。它们分别对应良序的串接、按序复制和迭代复制。加法与乘法结合，且 $\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma$$\alpha (\beta +\gamma )=\alpha \beta +\alpha \gamma$；一般不交换，也不满足另一侧分配律。

直觉

序数算术保留排列顺序：先放哪一段、后放哪一段会改变末端结构，因此即使底层集合等势，运算结果仍可能不同。

例子与边界

$1+\omega=\omega$$1+\omega =\omega$，因为在一个点后接自然数序列仍同构于 $\omega$$\omega$；但 $\omega+1>\omega$$\omega +1>\omega$，因为它有末元素。类似地，$2\cdot\omega=\omega$$2\cdot \omega =\omega$，而 $\omega\cdot2$$\omega \cdot 2$ 是两个依次排列的 $\omega$$\omega$ 块。有限序数上的运算与自然数运算一致。极限公式中的上确界不可随意换成最大值，因为序列通常没有最大项。序数减法和除法不像整数或有理数运算那样形成群或域。对固定左加数，序数加法对右变量严格递增，因此 $\alpha+\beta=\alpha+\gamma$$\alpha +\beta =\alpha +\gamma$ 可推出 $\beta=\gamma$$\beta =\gamma$；但公共右加数不能一般消去，例如 $1+\omega=2+\omega=\omega$$1+\omega =2+\omega =\omega$。

推论与应用

序数算术描述良序组合、Cantor 标准形和超限过程的长度，并为基数与序数之间“等势但序型不同”的差异提供最直接例子。

参考资料

• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003，Ch. 2, ordinal addition, multiplication, and exponentiation。
• Kenneth Kunen, Set Theory, College Publications, 2011，Ch. I, ordinal arithmetic and normal forms。