序数算术

序数算术描述良序类型的拼接与分层重复，而不只是对基数大小做运算。$\alpha +\beta$ 把一份 $\beta$ 排在整份 $\alpha$ 之后，先后顺序会改变末端结构；乘法是按 $\beta$ 次排列 $\alpha$ 的副本，幂则继续迭代。因此即使底层集合等势，运算结果仍可能不同。这些运算在右参数上由超限递归定义，通常不交换。

$1+\omega =\omega$，因为在一个点后接自然数序列仍同构于 $\omega$；但 $\omega +1>\omega$，因为它有末元素。类似地，$2\cdot \omega =\omega$，而 $\omega \cdot 2$ 是两个依次排列的 $\omega$ 块。有限序数上的运算与自然数运算一致。极限公式中的上确界不可随意换成最大值，因为序列通常没有最大项。序数减法和除法不像整数或有理数运算那样形成群或域。对固定左加数，序数加法对右变量严格递增，因此 $\alpha +\beta =\alpha +\gamma$ 可推出 $\beta =\gamma$；但公共右加数不能一般消去，例如 $1+\omega =2+\omega =\omega$。

更高一级的序型能区分“有限多个块”与“可数多个块”。${\omega }^2=\omega \cdot \omega$ 是依次排列可数多个 $\omega$ 块，因此对每个有限 $n$ 都有 $\omega \cdot n<{\omega }^2$，尽管这些序数的底层集合仍都可数。乘法只对右侧加法满足分配律：

另一方向一般失败，例如

这些差异来自拼接顺序，而不是基数大小。

序数公理库序数Ordinal由属于关系良序且具有传递性的集合，表征良序的同构类型。提供良序类型，超限递归公理库超限递归定理Transfinite recursion theorem允许用所有较早阶段的值唯一地定义序数长度函数的递归定理。定义加、乘、幂，使序数算术能够描述良序组合和超限过程的长度，并直观展示“等势但序型不同”。Cantor 标准形进一步用 $\omega$ 的幂展开序数，支撑证明论序数、终止性度量和 超限归纳公理库超限归纳法Transfinite induction若性质在每个序数处由所有更小序数上的成立推出，则它对全部序数成立。中的下降论证。