基数算术

三种运算延续了有限计数中的三幅图像。加法数“从两个带标签的来源中选一个”的对象；乘法数“同时选一个 $A$-对象和一个 $B$-对象”的有序配对；幂数“为每个 $B$-位置指定一个 $A$-值”的完整表格。

在有限集合上，它们就是普通整数的加、乘、乘方。新现象来自无限性：在选择公理下，一个无限集合能够吸收一份同样大小或更小的副本；两个非空集合中只要有一个无限，加法与乘法就都得到较大的基数。可数集与自身的不交并仍可数，笛卡尔平方也仍可数。

幂运算记录所有函数或所有子集，其增长无法被这种重新编码完全吸收。若 $|A|=\kappa$，特征函数给出 $2^{\kappa }=|\mathcal{P}(A)|$，Cantor 定理因而保证 $2^{\kappa }>\kappa$。无限基数算术的主要自由度集中在指数函数。

两份自然数仍然只有可数多个元素。双射

说明

自然数对也可编码成一个自然数。Cantor 配对函数

给出 ${\mathbb{N}}^2$ 与 $\mathbb{N}$ 的双射，因此

这提供了把一张已经给定的二维自然数表压回单列的编码。它可直接证明“带有指定枚举的可数族之并可数”；若每个成员只知道存在某个枚举，却没有同时选定它们，一般结论还需要相应的选择原则。

幂运算立即越过可数层级：

每个二进制序列对应一个自然数子集。这里底数与指数不能交换：$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 数无限二进制序列，是不可数的；${\mathrm{\aleph }}_0^2$ 数有序自然数对，仍然可数。

选择公理保证任意两个集合的大小可以比较。在 ZF 中，任意集合的大小未必两两可比较，$max\{\kappa ,\lambda \}$ 可能没有意义。Tarski 的等价形式说明：断言每个无限集合 $A$ 都满足 $|A\times A|=|A|$，在 ZF 上等价于选择公理。对已经良序化的无限基数，平方坍缩可以沿良序证明；真正需要 AC 的是把结论无条件推广到所有集合。

基数算术与序数算术理路序数算术Ordinal arithmetic以良序拼接和按序复制解释序数加、乘、幂，明确零底数约定、单侧分配律与 Cantor 标准形。保留的信息不同。基数只记录集合大小，因而加法交换；序数记录良序类型，顺序会影响结果：

幂也体现了这种差别：序数幂 $2^{\omega }=\underset{n<\omega }{sup}{2}^n=\omega$，仍是可数序数；基数幂 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 则是不可数集合的大小。

函数空间的大小可直接用指数律计算。因为 $|\mathbb{R}|=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$，实数序列集合满足

所以全体实数序列与实数本身等势。

沿阿列夫层级理路阿列夫层级Aleph hierarchy沿序数枚举可良序的无限基数，区分后继、极限与幂集步骤，并说明选择公理和共尾数的作用。追问 $2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$ 的位置，得到连续统假设理路连续统假设Continuum hypothesis · CH断言连续统恰为最小不可数基数、且相对于 ZFC 独立的集合论命题。及广义连续统假设。Gödel 与 Cohen 的独立性结果首先表明，ZFC 不能决定 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 是否等于 ${\mathrm{\aleph }}_1$；强迫法进一步展示了连续统函数在一致性约束内的广泛可变性。

指数函数仍受系统约束。Easton 定理描述正则基数上与单调性和共尾数条件相容的广泛自由；奇异基数处则受到 Silver 定理和 PCF 理论的更强限制。研究重点由构造单个显式双射转向分析整个基数函数与集合论公理的相容性。

模型论用基数刻画结构与语言的规模；无限组合、函数空间和幂集迭代也都以基数算术记账。