基数算术 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\kappa=|A|$ 、 $\lambda=|B|$ 。基数加法通过带标签的不交并定义：

\kappa+\lambda = \left|(A\times\{0\})\cup(B\times\{1\})\right|.

标签保证即使 $A$ 与 $B$ 原本有交，它们在计数时仍代表两个不同来源。基数乘法由笛卡尔积定义：

\kappa\lambda=|A\times B|.

基数幂则计算全部函数：

\kappa^\lambda = |A^B|, \qquad A^B=\{f:B\to A\}.

三个定义只依赖 $A,B$ 的基数，与代表集合的选择无关。它们满足交换律、结合律和分配律；幂还满足

\kappa^{\lambda+\mu} = \kappa^\lambda\kappa^\mu,

(\kappa^\lambda)^\mu = \kappa^{\lambda\mu}, \qquad (\kappa\lambda)^\mu = \kappa^\mu\lambda^\mu.

零指数和零因子来自相应集合构造：

\kappa+0=\kappa, \qquad \kappa\cdot0=0, \qquad \kappa^0=1.

最后一个等式因为从空集到任意集合恰有一个函数。若 $\lambda>0$ ，则 $0^\lambda=0$ ；按同一定义， $0^0=1$ 。这些边界约定不是形式技巧，而是函数集确切大小的结果。

在选择公理下，若 $\kappa,\lambda$ 至少有一个是无限基数，且二者都非零，则

\kappa+\lambda = \kappa\lambda = \max\{\kappa,\lambda\}.

幂运算不会同样坍缩。Cantor 定理对任意基数 $\kappa$ 都给出

2^\kappa>\kappa.

直觉

三种运算延续了有限计数中的三幅图像。加法数“从两个带标签的来源中选一个”的对象；乘法数“同时选一个 $A$ -对象和一个 $B$ -对象”的有序配对；幂数“为每个 $B$ -位置指定一个 $A$ -值”的完整表格。这里的逐坐标选择是函数定义，不暗含概率独立性。

在有限集合上，它们就是普通整数的加、乘、乘方。新现象来自无限性：一个无限集合往往能够吸收一份同样大小或更小的副本，所以加法与乘法在选择公理下只保留较大的基数。可数集与自身的不交并仍可数，笛卡尔平方也仍可数。

幂运算记录所有函数或所有子集，其增长无法被这种重新编码完全吸收。若 $|A|=\kappa$ ，特征函数给出 $2^\kappa=|\mathcal P(A)|$ ，Cantor 定理因而保证 $2^\kappa>\kappa$ 。无限基数算术的主要自由度集中在指数函数。

例子与边界

两份自然数仍然只有可数多个元素。双射

(n,0)\longmapsto2n, \qquad (n,1)\longmapsto2n+1

说明

\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0.

自然数对也可编码成一个自然数。Cantor 配对函数

\pi(m,n) = \frac{(m+n)(m+n+1)}2+n

给出 $\mathbb N^2$ 与 $\mathbb N$ 的双射，因此

\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0.

这提供了把一张已经给定的二维自然数表压回单列的编码。它可直接证明“带有指定枚举的可数族之并可数”；若每个成员只知道存在某个枚举，却没有同时选定它们，一般结论还需要相应的选择原则。

幂运算立即越过可数层级：

2^{\aleph_0} = |\{0,1\}^{\mathbb N}| = |\mathcal P(\mathbb N)| > \aleph_0.

每个二进制序列对应一个自然数子集。这里底数与指数不能交换： $2^{\aleph_0}$ 数无限二进制序列，是不可数的； $\aleph_0^2$ 数有序自然数对，仍然可数。

选择公理的作用不能藏在公式后面。在 ZF 中，任意集合的大小未必两两可比较， $\max\{\kappa,\lambda\}$ 可能没有意义。Tarski 的等价形式说明：断言每个无限集合 $A$ 都满足 $|A\times A|=|A|$ ，在 ZF 上等价于选择公理。对已经良序化的无限基数，平方坍缩可以沿良序证明；真正需要 AC 的是把结论无条件推广到所有集合。

基数算术还必须与序数算术区分。基数只记录集合大小，因而加法交换；序数记录良序类型，顺序会影响结果：

1+\omega=\omega, \qquad \omega+1>\omega.

同一个符号附近出现“加法”或“幂”时，必须先确定讨论的是大小还是顺序类型。序数幂 $2^\omega$ 与基数幂 $2^{\aleph_0}$ 也不是同一个运算。

推论与应用

函数空间的大小可直接用指数律计算。因为 $|\mathbb R|=2^{\aleph_0}$ ，实数序列集合满足

|\mathbb R^{\mathbb N}| = (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0}.

所以全体实数序列与实数本身等势。结论并不意味着存在简单的数值编码，而是说明二者之间存在某个双射。

沿阿列夫层级追问 $2^{\aleph_\alpha}$ 的位置，得到连续统假设及广义连续统假设。Gödel 与 Cohen 的独立性结果首先表明，ZFC 不能决定 $2^{\aleph_0}$ 是否等于 $\aleph_1$ ；强迫法进一步展示了连续统函数在一致性约束内的广泛可变性。

指数函数仍受系统约束。Easton 定理描述正则基数上与单调性和共尾数条件相容的广泛自由；奇异基数处则受到 Silver 定理和 PCF 理论的更强限制。研究重点由构造单个显式双射转向分析整个基数函数与集合论公理的相容性。

模型论用基数刻画结构与语言的规模；无限组合、函数空间和幂集迭代也都以基数算术记账。使用无限坍缩公式时应明确选择公理，使用指数结论时还要留意共尾数约束，并先确认符号指的是基数运算而非序数运算。

参考资料

Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003, Chapter 5.
Kenneth Kunen, Set Theory, College Publications, 2011, Chapter I.
Akihiro Kanamori, The Higher Infinite, 2nd ed., Springer, 2003, cardinal exponentiation and large-cardinal context.

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