形式陈述

对基数 $\kappa=|A|$$\kappa =|A|$、$\lambda=|B|$$\lambda =|B|$，定义

$$ \kappa+\lambda=|(A\times\{0\})\cup(B\times\{1\})|,\qquad \kappa\lambda=|A\times B|, $$$$\kappa +\lambda =|(A\times \{0\})\cup (B\times \{1\})|,\kappa \lambda =|A\times B|,$$

并令 $\kappa^\lambda$${\kappa }^{\lambda }$ 为从一个 $\lambda$$\lambda$ 元集合到一个 $\kappa$$\kappa$ 元集合的全体函数数目。定义与代表集合选择无关。加法、乘法交换且结合，乘法对加法分配。采用选择公理时，对无限基数 $\kappa,\lambda$$\kappa ,\lambda$，只要二者非零，

$$ \kappa+\lambda=\kappa\lambda=\max\{\kappa,\lambda\}; $$$$\kappa +\lambda =\kappa \lambda =max\{\kappa ,\lambda \};$$

幂运算则复杂得多，Cantor 定理只普遍保证 $2^\kappa>\kappa$$2^{\kappa }>\kappa$。

直觉

基数算术只数对象，不保留排列次序：不交并表示“二选一来源”，笛卡尔积表示有序配对，幂表示为每个输入选择一个输出。

例子与边界

$\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$${\mathrm{\aleph }}_0+{\mathrm{\aleph }}_0={\mathrm{\aleph }}_0$、$\aleph_0^2=\aleph_0$${\mathrm{\aleph }}_0^2={\mathrm{\aleph }}_0$，可分别用奇偶编码和配对函数给出双射；但 $2^{\aleph_0}>\aleph_0$$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}>{\mathrm{\aleph }}_0$，对应实数连续统的不可数性。有限情形仍是普通整数算术。公式 $\kappa\lambda=\max\{\kappa,\lambda\}$$\kappa \lambda =max\{\kappa ,\lambda \}$ 依赖无限基数可比较等选择原则，不能在纯 ZF 中不加说明地使用。$\kappa^\lambda$${\kappa }^{\lambda }$ 的底数和指数方向不能颠倒：它数的是 $\lambda\to\kappa$$\lambda \to \kappa$ 的函数。序数加法与基数加法不同，例如 $1+\omega=\omega$$1+\omega =\omega$ 是序数等式，而基数层面两边也相等但原因是等势。

推论与应用

基数算术量化集合构造、函数空间、幂集和模型大小，是连续统问题、组合计数与无限结构分类的基础语言。

参考资料

• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003，Ch. 5, cardinal arithmetic and exponentiation。
• Kenneth Kunen, Set Theory, College Publications, 2011，Ch. I, arithmetic of infinite cardinals。