形式陈述

有序对 $(a,b)$$(a,b)$ 的本质判据是

$$ (a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d. $$$$(a,b)=(c,d)⟺a=c\wedge b=d.$$

在集合论中可采用 Kuratowski 编码 $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$；其他满足相等判据的编码同样可用。

直觉

普通二元素集合不区分先后，而有序对保留第一、第二分量。编码方式是实现细节，相等判据才是数学接口。

例子与边界

通常 $(1,2)\ne(2,1)$$(1,2)\ne (2,1)$，但 $\{1,2\}=\{2,1\}$$\{1,2\}=\{2,1\}$。当 $a=b$$a=b$ 时，Kuratowski 编码退化为 $\{\{a\}\}$$\{\{a\}\}$，仍满足所需相等性质。不能把某一编码的偶然性质当成所有有序对的结构性质。

推论与应用

有序对定义笛卡尔积、关系、函数图像、坐标与状态转移。有限元组可递归编码为有序对。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §6。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Relations chapter。