有序对

无序集合 $\{a,b\}$ 只记录哪些元素出现，不记录位置。交换两个元素不会改变集合：

有序对把位置纳入对象本身。通常 $(a,b)\ne (b,a)$，因为第一分量和第二分量承担不同角色。坐标中的横坐标与纵坐标、函数图中的输入与输出、边中的起点与终点，都依赖这种位置差别。即使两个角色恰好取同一个值，$(a,a)$ 仍有两个坐标槽位。

集合论编码的意义是把“新对象”还原为集合，而不是要求日常计算反复展开嵌套括号。类似程序接口，使用者依赖投影和相等规则；底层表示只在基础理论证明中出现。若换一种编码，笛卡尔积、关系和函数的外部行为不会改变。

一条航班记录可写成 $(\text{出发机场},\text{到达机场})$。$(\mathrm{SHA},\mathrm{PEK})$ 与 $(\mathrm{PEK},\mathrm{SHA})$ 使用同一对机场，却是方向相反的航段；改写成二元素集合会丢失方向。平面坐标和有向图的边也是同一结构图像。

有序对可以含相同分量：$(a,a)$ 是完全合法的对象。它不等于单独的 $a$，也不因两个位置取值相同就失去二元结构。Kuratowski 编码在这种情形下变成 $\{\{a\}\}$，但外部仍通过有序对接口理解。

不能把某种编码的偶然内部性质当成有序对的本质。例如，Kuratowski 对 $(a,b)$ 的传递闭包包含 $a,b$ 的若干集合论层级；换用 Wiener 编码后这些底层成员关系会改变。真正保持不变的是分量恢复和相等判据。

笛卡尔积公理库笛卡尔积Cartesian product · Direct product of sets由各坐标分别取值形成的有序元组集合；二元情形记作 A×B。定义为

二元关系公理库关系Relation · Binary relation带源集与目标集的二元关系，其底层关系图是 A×B 的子集。是某个乘积的子集，函数图公理库函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。则是满足单值性与定义域条件的关系。有序对因此把集合论、关系论和函数统一到同一种对象表示中。

有限元组可以递归编码，例如

或采用其他统一约定。不同括号方式产生不同底层有序对，所以使用递归编码时必须固定约定；抽象数学通常直接把 $n$-元组视为带坐标投影的对象，避免让实现细节干扰坐标运算。

数据库记录、程序状态和概率样本也依赖有序结构。字段名或索引告诉我们每个分量的角色；若只保留无序集合，相同取值的重复字段和位置关系都会丢失。