Chebyshev 多项式与节点

形式陈述 ​

第一类 Chebyshev 多项式定义为

$$T_n(x)=\cos (n\arccos x),-1\le x\le 1.$$

余弦倍角公式给出

$$T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).$$

$T_n$ 在 $[-1,1]$ 上的极值点为 $\cos \left(j\pi /n\right)$，函数值交替为 $\pm 1$；其零点为

$$\cos \frac{(2j+1)\pi }{2n},j=0,\dots ,n-1.$$

次数 $n$ 插值常用两套不同节点。Chebyshev roots 是 $T_{n+1}$ 的零点

$$x_j=\cos \frac{(2j+1)\pi }{2n+2},j=0,\dots ,n;$$

Chebyshev–Lobatto 节点则包含端点，

$$x_j=\cos \frac{j\pi }{n},j=0,\dots ,n.$$

两者不能混称为同一公式。对 $n\ge 1$，$T_n$ 的首项系数为 $2^{n-1}$，所以首一多项式 $2^{1-n}{T}_n$ 在 $[-1,1]$ 上达到最小可能的一致范数 $2^{1-n}$。节点的端点聚集由余弦映射自然产生，并使相应Lebesgue 常数公理库Lebesgue 常数与插值条件性Lebesgue constant · Interpolation conditioning用插值算子的无穷范数刻画节点集合对采样扰动和最佳逼近误差的放大。只按对数级增长。

直觉 ​

把角度 $\theta$ 上的均匀点通过 $x=\cos \theta$ 投到区间，会在 $x=\pm 1$ 附近自动挤密。高次多项式最容易在端点之间产生大摆动；多放一些端点附近的数据，相当于在最危险区域增加约束。

Chebyshev 多项式还可视为复单位圆上 $z^n$ 与 $z^{-n}$ 的对称组合：若 $x=(z+z^{-1})/2$，则 $T_n(x)=(z^n+z^{-n})/2$。这个复数公理库复数Complex number形如 a+bi 的数，按坐标规则构成实数域的二次扩张。图像解释了余弦结构，也说明目标函数在复平面中离区间最近的奇异点会影响系数和逼近速度。

例子与边界 ​

对 Runge 函数

$$f(x)=\frac{1}{1+25x^2},x\in [-1,1],$$

分别用 $n+1$ 个等距节点 $x_j=-1+2j/n$ 与 Chebyshev–Lobatto 节点 $x_j=\cos \left(j\pi /n\right)$ 做次数 $n$ 插值。两组都用第二重心公式公理库重心 Lagrange 插值Barycentric Lagrange interpolation · Barycentric interpolation预计算重心权后以线性成本稳定求值 Lagrange 插值多项式，并显式处理节点命中与权重尺度。和各自的结构化权重在 binary64 中求值；在 $[-1,1]$ 上取 20,001 个等距检验点，以

$$E_n=\underset{k}{max}|p_n(t_k)-f(t_k)|$$

作为一致误差的高分辨率网格近似。方案包的同一次 sweep 得到：

次数 $n$	等距节点 $E_n$	Chebyshev–Lobatto $E_n$	误差比
10	$1.9156588028$	$1.3219742331\times {10}^{-1}$	$1.4491\times {10}^1$
20	$5.9822308711\times {10}^1$	$1.7737824286\times {10}^{-2}$	$3.3726\times {10}^3$
30	$2.3882809684\times {10}^3$	$2.4257894268\times {10}^{-3}$	$9.8454\times {10}^5$

两组使用同一目标、次数、求值公式和误差指标，因此差异主要来自节点。Runge 函数在复平面靠近实区间处有极点 $\pm i/5$；等距插值的端点摆动和快速增长的 Lebesgue 常数放大这种困难，而 Lobatto 节点控制首一节点多项式并抑制端点放大。实验不是“换公式”的胜利，而是节点几何改变了插值问题。

Chebyshev 节点并非对所有目标、范数和约束绝对最优。周期函数可能更适合 Fourier 网格，局部尖峰可能需要分段或自适应节点，加权范数也会选择不同的正交族。即使节点良好，把高次多项式先展开成单项式系数仍可能引入严重舍入误差，应使用重心、Clenshaw 或离散余弦变换等结构化计算。

推论与应用 ​

Chebyshev roots 与 Lobatto 节点都来自同一余弦结构，却分别适合不含端点和必须包含端点的任务。实现与文字必须明确采用哪一种，权重、端点条件和节点个数才能保持一致。

离散余弦变换可在节点值与 Chebyshev 系数之间快速转换，连接快速变换与谱方法；本页只建立节点和多项式结构，不把变换细节当作插值存在性的组成部分。

参考资料

• Lloyd N. Trefethen, “Six Myths of Polynomial Interpolation and Quadrature,” Mathematics Today 47(4), 2011.
• Lloyd N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice, extended ed., SIAM, 2019.
• Jean-Paul Berrut and Lloyd N. Trefethen, “Barycentric Lagrange Interpolation,” SIAM Review 46(3), 2004.
• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §18.3 Definitions.