半双线性形式

形式陈述 ​

设 $V,W$ 是复向量空间。本库采用“第一变量共轭线性、第二变量线性”的统一约定：映射 $B:V\times W\to \mathbb{C}$ 称为半双线性形式，若对所有 $u_1,u_2\in V$、$v_1,v_2\in W$ 与 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$，

$$\begin{array}{rl}B(\alpha u_1+\beta u_2,v_1)& =\bar{\alpha }B(u_1,v_1)+\bar{\beta }B(u_2,v_1),\\ B(u_1,\alpha v_1+\beta v_2)& =\alpha B(u_1,v_1)+\beta B(u_1,v_2).\end{array}$$

当 $V=W$ 且 $B(v,w)=\overline{B(w,v)}$ 时，称 $B$ 为 Hermitian 形式；若再有 $B(v,v)>0$ 对所有 $v\ne 0$ 成立，它就是复内积。

直觉 ​

双线性形式在两个槽位都直接提出标量，半双线性形式则在一个槽位提出共轭标量。这个共轭不是记号修饰：若复数空间仍用纯双线性自配对，就会有 $B(iv,iv)=-B(v,v)$，无法让所有非零向量的“平方长度”保持为正。Hermitian 对称把交换槽位产生的变化精确限制为复共轭，于是 $B(v,v)=\overline{B(v,v)}$ 必为实数。

例子与边界 ​

${\mathbb{C}}^n$ 上 $B(x,y)=\sum _{j=1}^n\overline{x_j}{y}_j$ 是正定 Hermitian 形式。若 $A$ 是复矩阵，则 $B_A(x,y)=x^{\ast }Ay$ 总是半双线性的；它是 Hermitian 形式当且仅当 $A=A^{\ast }$，是内积当且仅当 $A$ 还是正定矩阵。若 $A=\mathrm{diag}(1,-1)$，形式虽 Hermitian 且非退化，却因 $B_A(e_2,e_2)=-1$ 而不是内积。

部分文献采用第一变量线性、第二变量共轭线性的相反约定。两套约定在一致使用时等价，但不能在投影、伴随或坐标公式中混用；本库所有相关条目均采用第一变量共轭线性。

推论与应用 ​

半双线性形式是复内积、Hermitian 矩阵、伴随算子与酉几何的共同代数接口。固定一个槽位会得到线性泛函或共轭线性泛函；Hermitian 正定性进一步诱导范数和正交关系。实数域上共轭为恒等，对应结构退化为双线性形式。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 6。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 6。