半双线性形式

双线性形式理路双线性映射与形式Bilinear map · Bilinear form对两个向量变量分别线性的映射；值域为标量域时称双线性形式。的两个变量都直接提出标量，但在复数空间中，这会给出 $B(iv,iv)=-B(v,v)$，无法把非零向量的自配对全部解释为正的平方长度。给一个槽位加上共轭后，标量因子变为 $\overline{\alpha }\alpha =|\alpha {|}^2$，自配对的缩放方向才与长度相容。若一个复形式同时双线性和半双线性，则对第一变量乘 $i$ 会分别得到 $iB(u,v)$ 与 $-iB(u,v)$，所以它只能是零形式。

这三个条件逐层建立长度结构：半双线性使自配对按 $|\alpha {|}^2$ 缩放，Hermitian 条件使 $B(v,v)$ 等于自己的共轭、因而为实数，正定条件则使每个非零向量的自配对为正。

矩阵表示和换基 ​

在 ${\mathbb{C}}^m\times {\mathbb{C}}^n$ 上，任意 $m\times n$ 复矩阵 $A$ 都给出 $B_A(x,y)=x^{\ast }Ay$，其中 $x^{\ast }={\overline{x}}^{\mathsf{T}}$ 是共轭转置。反过来，取两侧的标准基并令 $A_{ij}=B(e_i,e_j)$，按两个槽位展开便能恢复此公式。矩阵的行数与列数分别对应两个输入空间的维数。

当 $m=n$ 时，$B_A$ 为 Hermitian 当且仅当 $A=A^{\ast }$；它为内积当且仅当 $A$ 还正定。例如 $A=I$ 时，取 $x=(1,i)$、$y=(i,1)$，则

在同一空间中按换基理路换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。关系 $x=P{x}^{\prime }$、$y=P{y}^{\prime }$ 换基，代入得到 $x^{\prime \ast }{P}^{\ast }AP{y}^{\prime }$，所以新矩阵为 $P^{\ast }AP$。两侧输入同时换坐标，便产生形式的合同变换；线性算子的输入与输出坐标变换则给出 $P^{-1}AP$。

非退化不等于正定 ​

取 $A=\mathrm{diag}(1,-1)$，则 $B_A$ 为 Hermitian，且 $A$ 可逆，所以没有非零向量与所有向量配对为零。然而 $B_A(e_2,e_2)=-1$，而非零向量 $v=(1,1)$ 满足 $B_A(v,v)=0$，因此它不是内积。自配对为零称为各向同性；这与“对所有向量配对都为零”的退化方向是两个条件。

某些教材把第一变量规定为线性、第二变量规定为共轭线性。取 $\tilde{B}(u,v)=\overline{B(u,v)}$ 就把两种约定连接起来。例如内积下沿非零 $u$ 的投影系数，在本页约定中是 $B(u,v)/B(u,u)$，在相反约定中则写成 $\tilde{B}(v,u)/\tilde{B}(u,u)$，两者数值相同。

固定第一变量后，$v\mapsto B(u,v)$ 是线性泛函；固定第二变量后，$u\mapsto B(u,v)$ 是共轭线性泛函。这个接口将配对关系与对偶空间理路对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。联系起来，并为伴随算子理路伴随算子Adjoint operator有限维内积空间中把线性映射从内积一侧移到另一侧的唯一算子。提供定义。例如标准复内积满足 $B(Ax,y)=B(x,A^{\ast }y)$，因为两边都等于 $x^{\ast }{A}^{\ast }y$。

正定 Hermitian 形式进一步给出范数 $\Vert v\Vert =\sqrt{B(v,v)}$ 与正交关系；不定形式则保留配对和伴随的代数意义，却不能用相同公式构造范数。在实数域取恒等对合时，共轭线性与线性一致，半双线性形式也就化为双线性形式。