形式陈述

给线性无关向量 $v_1,\dots ,v_k$，令 $u_1=v_1/\Vert v_1\Vert$，并递归令 $w_j=v_j-\sum _{i<j}⟨v_j,u_i⟩u_i$、$u_j=w_j/\Vert w_j\Vert$。则 $(u_i)$ 正交规范，且前 $j$ 个向量的张成保持不变。

直觉

每一步从新向量中减去已知方向的投影，只保留真正新增的垂直分量。

例子与边界

若输入相关，则某个 $w_j=0$。经典公式在浮点数中可能损失正交性，数值上常用修改版 Gram–Schmidt 或 Householder 变换。

推论与应用

给出 QR 分解，并用于最小二乘、正交多项式和数值线性代数。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), Gram–Schmidt.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), Gram–Schmidt and QR.