Gram–Schmidt 正交化

每一步都把新向量拆成两部分：一部分已经能由旧方向解释，另一部分是旧子空间从未见过的新方向。把前者逐项减去便得到残差 $w_j$；它与所有旧的 $u_i$ 正交，归一化后成为新的单位坐标轴。这个过程只删除重复方向，没有删除新信息，所以每一步的张成空间都保持不变。

由 $v_1=(1,1)$、$v_2=(1,0)$ 出发，先得到

第二步为

所以 $u_2=(1,-1)/\sqrt{2}$。若输入向量线性相关，某一步会得到 $w_j=0$；这不是算法偶然失败，而是说明该向量没有新增方向。

上述递推是精确算术中的 classical Gram–Schmidt。浮点运算会把相近向量相减，舍入误差可能破坏正交性。modified Gram–Schmidt 逐次更新残差，通常更稳定；要求更高时，以Householder 反射公理库Householder 反射Householder reflection · Householder transformation用一个向量紧凑表示酉反射，把整段向量化到单一坐标方向，并作为稳定 QR 的基本原语。构造的QR 分解公理库QR 分解QR factorization · QR decomposition · Economy-size QR把长方矩阵分解为正交列与上三角因子，并区分经济型表示、数值算法和秩亏边界。往往是首选。三者在精确算术中表达同一正交化目标，但计算图与数值行为不同。

该过程把线性无关公理库线性无关Linear independence只有全零系数能产生零向量的向量组。组变成张成同一子空间的正交规范组公理库正交规范基Orthonormal basis由单位长度且两两正交的向量组成的基。；若原组是全空间的基，结果才是正交规范基。把输入向量排成矩阵的列便得到 $A=QR$，其中 $Q$ 的列正交规范、$R$ 为上三角矩阵；完整的 full/economy 维度、Householder 实现与秩亏边界由 QR 页面统一说明。

最小二乘公理库最小二乘与正规方程Least squares · Normal equations将目标向量正交投影到矩阵列空间，并以残差正交条件导出正规方程。的正规方程保留几何最优性，而QR/SVD 计算路线公理库用 QR 与 SVD 求最小二乘Least squares via QR · Least squares via SVD · Numerical least squares以 QR 作为满列秩最小二乘的默认计算路线，并用 SVD 处理秩亏、欠定和最小范数解。避免把 $A^{\ast }A$ 作为默认数值入口。

正交多项式、特征值迭代和稳定坐标构造也复用同一过程。